От коллектора к коллектору?

Question

От коллектора к коллектору?

Анамитра Палит

Предполагается, что тензорные уравнения остаются инвариантными по форме относительно преобразований координат, при которых сохраняется метрика. Важно отметить тот факт, что инвариантность по форме тензорных уравнений согласуется с тем, что отдельные компоненты тензора могут изменяться при переходе от одной системы отсчета к другой [Кстати, сохранение метрики означает сохранение нормы , углы и т.д.]

Но в ОТО тензорные уравнения (примеры: уравнение геодезической, уравнения Максвелла в ковариантной форме) считаются инвариантными по форме при переходе от одного многообразия к другому. Метрика в таких ситуациях не сохраняется. Сохранение значения элемента строки согласуется с тем, что $g_{\mu\nu}$ можно рассматривать как ковариантный тензор второго ранга:

$ds'^2=ds^2$

${=>}g'_{\mu\nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}=g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}$

${=>}g'_{\mu\nu}=g_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{dx'^{\mu}}\frac{dx^{\beta}}{dx'^{\nu}}$

Строгие расчеты:

$ds'^2=g'_{\mu\nu}dx'^\alpha dx'^\beta$

$=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}{d x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}{d x^\beta}$

$=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}{d x^\alpha}{d x^\beta}$

$=>g_{\alpha\beta}=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}g'_{\mu\nu}$

Поэтому $g_{\mu\nu}$ является ковариантным тензором второго ранга.

Но в приведенном выше доказательстве мы приняли значение $ds^2$ как инвариант по отношению к нашему преобразованию. Это неверно, когда рассматриваются различные типы многообразий.

Несохранение значения $ds^2$ приведет к увольнению $g_{\mu\nu}$ как тензор второго ранга ковариантного типа. Так будет, если мы перейдем от одного многообразия к другому *. Важно подчеркнуть, что проблема останется, даже если мы перейдем от произвольного многообразия к плоскому пространству-времени, в частности к локальной инерциальной системе отсчета *. Дифференциальные соображения. не улучшают дела, как указано в приведенном выше расчете. Сама концепция тензора расстраивается, если рассматривать разные/различные многообразия.

Какова математическая основа инвариантности формы тензорных уравнений в таких приложениях, где мы рассматриваем разные/различные многообразия?

Хосе Фигероа-О'Фаррилл

Хотя это, вероятно, содержится в ответе Любоша ниже, позвольте мне просто сделать комментарий о том, что путаница может быть связана с тем, что первое предложение в вопросе неверно. Тензорное уравнение таково, что все диффеоморфизмы (а не только изометрии, как утверждалось) принимают решения в решения. Второй абзац также содержит неточность. Под «когда мы переходим от одного многообразия к другому», я полагаю, вы имеете в виду «под дифференцируемым отображением от одного многообразия к другому». Если это так, то тензорное поле в одном многообразии не автоматически определяет тензорное поле в другом. (продолжение)

Хосе Фигероа-О'Фаррилл

Например, дифференциальные формы тянутся назад при дифференцируемых отображениях, но если карта не является инъективной, векторные поля не двигаются вперед. Так что, вероятно, безопасно ограничиться диффеоморфизмами между многообразиями, а не общими дифференцируемыми отображениями.

Джон Сайдлс

Строгий ответ на ваш вопрос «Какова математическая основа таких приложений [как динамика]» — естественность , в математическом смысле этого слова (см. « mathoverflow.net/questions/56938/… » ). У многих людей есть любимые учебники, которые открыли им глаза на понятие математической естественности: одна из моих книг — « Введение в гладкие многообразия » Джека Ли , также известное как «Гладкое введение в многообразия». лучше! :)

Джузеппе

Для ясности замечу, что условие инъективности на гладком отображении

f : M \to N

$f:M\to N$ недостаточно для существования проталкивания вперед

f_{*} : X (M) \to X (N)

$f_{\ast}:\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(N)$ . C Рассмотрим, например, обратную стереографическую карту

R^{n} \to S^{n}

$R^n\to S^n$ или кривая

R \to T^{2}

$\mathbb{R}\to\mathbb{T}^2$ образ которого везде плотен.

Ответы (3)

От коллектора к коллектору?

Хотя это, вероятно, содержится в ответе Любоша ниже, позвольте мне просто сделать комментарий о том, что путаница может быть связана с тем, что первое предложение в вопросе неверно. Тензорное уравнение таково, что все диффеоморфизмы (а не только изометрии, как утверждалось) принимают решения в решения. Второй абзац также содержит неточность. Под «когда мы переходим от одного многообразия к другому», я полагаю, вы имеете в виду «под дифференцируемым отображением от одного многообразия к другому». Если это так, то тензорное поле в одном многообразии не автоматически определяет тензорное поле в другом. (продолжение)
Например, дифференциальные формы тянутся назад при дифференцируемых отображениях, но если карта не является инъективной, векторные поля не двигаются вперед. Так что, вероятно, безопасно ограничиться диффеоморфизмами между многообразиями, а не общими дифференцируемыми отображениями.
Строгий ответ на ваш вопрос «Какова математическая основа таких приложений [как динамика]» — естественность , в математическом смысле этого слова (см. « mathoverflow.net/questions/56938/… » ). У многих людей есть любимые учебники, которые открыли им глаза на понятие математической естественности: одна из моих книг — « Введение в гладкие многообразия » Джека Ли , также известное как «Гладкое введение в многообразия». лучше! :)
Для ясности замечу, что условие инъективности на гладком отображении $f:M\to N$ недостаточно для существования проталкивания вперед $f_{\ast}:\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(N)$ . C Рассмотрим, например, обратную стереографическую карту $R^n\to S^n$ или кривая $\mathbb{R}\to\mathbb{T}^2$ образ которого везде плотен.

Любош Мотл · Answer 1

Вопрос, кажется, объединяет много разных вещей:

неизменность математической величины (обычно скаляра, такого как $ds^2$ для разделения двух событий в специальной теории относительности)
ковариация тензоров (значения компонентов тензоров могут быть рассчитаны из значений в другом кадре, но это не одно и то же)
универсальность уравнений в разных ситуациях (одни и те же уравнения, определяющие теорию, имеют много решений и разные решения, например, различные формы многообразий, как правило, вообще не связаны друг с другом)

Эти вещи, возможно, связаны и похожи друг на друга, но это не одно и то же. В специальной теории относительности некоторые объекты, такие как $p_\mu p^\mu$ для вектора энергии-импульса $p^\mu$ являются «инвариантными», что на самом деле означает, что значение этой скалярной величины вообще не меняется, если выполнить преобразование Лоренца $L$ :

л (п)^{мю} л (п)_{мю} "=" п^{мю} п_{мю}

$L(p)^\mu L(p)_\mu = p^\mu p_\mu$ Затем есть тензоры, которые представляют собой любые объекты, которые преобразуются «ковариантно»:

л (Т)_{α β \dots ю} "=" Т_{α^{'} β^{'} \dots ю^{'}} л_{α}^{α^{'}} л_{β}^{β^{'}} \dots л_{ю}^{ю^{'}}

$L(T)_{\alpha\beta\dots \omega} = T_{\alpha' \beta' \dots \omega'} L^{\alpha'}_{\alpha} L^{\beta'}_{\beta} \dots L^{\omega'}_{\omega}$ что означает, что они преобразуются как «тензорные произведения векторов»: каждый индекс стягивается с копией матрицы преобразования Лоренца.

Уравнения поля в специальной теории относительности ковариантны: они (после того, как все члены переместятся в левую часть, а правая часть исчезнет) преобразуются как тензоры, что означает, что если они исчезают (удерживаются) в одной системе отсчета, они также делают это в другой. Однако конкретные числовые значения компонентов (ковариантного) тензора зависят от системы отсчета. Они не «инвариантны» (неизменны); вместо этого они просто «ковариантны» (они меняются вместе с координатами в соответствии с универсальным тензорным правилом).

В общей теории относительности такие поля, как тензор Риччи, являются функциями пространственно-временных координат. В каждой точке объекты трансформируются как тензоры (как объяснено выше) при преобразованиях координат, сводящихся к преобразованиям Лоренца в окрестности данной точки (с некоторым приближением). Фактически, приведенное выше правило преобразования тензора может быть обобщено и должно быть обобщено из $SO(3,1)$ к $GL(4,R)$ . Также полезно записать, как тензорные поля преобразуются при общих диффеоморфизмах, т. е. не обязательно при линейных преобразованиях координат. Для общих преобразований координат определение «тензора» является более ограничивающим: например, частные производные векторов больше не преобразуются как тензоры.

С этим более ограничивающим определением общая теория относительности диктует уравнения поля, которые имеют форму «тензорное поле исчезает». Для данной теории уравнения движения имеют универсальную форму – например, уравнения Максвелла-Эйнштейна, если быть точным. Четкость и уникальность уравнений движения — это то, что мы подразумеваем под единой теорией. Однако одна теория или один набор уравнений в физике всегда имеют много решений. В специальной теории относительности можно получить новые (математически, но не физически новые) решения с помощью преобразований Лоренца из заданного; в общей теории относительности можно получить новые (математически, но не новые физически) решения с помощью любых диффеоморфизмов, примененных к данному решению.

Тензорные поля преобразуются ковариантно, но они не инвариантны и зависят от ситуации — от формы многообразия и т. д. Во всяком случае, к этому моменту вы должны понимать, почему ваш вопрос не имеет смысла. Математической основой «такого приложения» является элементарная линейная алгебра, дифференциальная геометрия, специальная теория относительности или общая теория относительности, в зависимости от того, о чем вы конкретно спрашиваете. Однако вы точно ни о чем не спрашиваете, поэтому на ваш вопрос нельзя ответить. Убедитесь, что нет никакого противоречия в том, что вы, видимо, хотели предложить в формулировке вашего вопроса.

Питер Морган · Answer 2

Упомянутые вами тензорные уравнения не инвариантны , они ковариантны . Большая разница. Оба являются дифференциальными уравнениями, которые линейно преобразуются при нелинейных преобразованиях от одного многообразия к другому, потому что они являются дифференциальными уравнениями в точке . Нелинейное преобразование от одного многообразия к другому индуцирует линейное преобразование касательного пространства в каждой точке одного многообразия к касательному пространству в соответствующей точке другого.

Метрический тензор $g_{\mu\nu}$ линейно ковариантна относительно преобразований. Учитывая, что на обоих многообразиях есть метрический тензор и что одно является образом другого при диффеоморфизме , расстояние от точки $A$ В точку $B$ , например, инвариантен относительно этого преобразования. Грубо говоря, тензорный объект инвариантен при суммировании всех индексов (обычно в соответствии с соглашением о суммировании Эйнштейна , которое скрывает в формализме многие теоремы линейной алгебры).

Любош опубликовал более обширный ответ, когда я заканчивал это, так что считайте это относительно простодушным контрапунктом этому.

Я полагаю, что вам нужна приличная книга-кроссовер по математике и физике, в которой обсуждаются многообразия и дифференциальная геометрия на среднем уровне, а таких существует множество. Я был доволен Накахара, http://www.amazon.com/Geometry-Topology-Physics-Graduate-Student/dp/0750306068 .

Кайл · Answer 3

Это зависит от того, что вы подразумеваете под «переходом от одного коллектора к другому». В общей теории относительности обычно рассматривается одно многообразие $\mathcal{M}$ и диффеоморфизмы $\phi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M}$ . Я думаю, что идея, которую вы пытаетесь понять, заключается в том, что если вы рассматриваете геометрию на $\mathcal{M}$ , это пара $(\mathcal{M} , g)$ где $g$ является метрическим полем (поле гладкой 2-формы, невырожденным и имеет правильную сигнатуру), которое удовлетворяет тогда уравнениям поля Эйнштейна на $\mathcal{M}$ тогда геометрия, заданная $(\mathcal{M} , (\phi^{-1})^*g)$ , где $(\phi^{-1})^*g$ является откатом $g$ вдоль обратной стороны $\phi$ , также удовлетворяет уравнениям поля Эйнштейна.

Отсюда возникло представление о том, что ОТО обладает «калибровочной избыточностью», которая заключается в ее инвариантности относительно активных диффеоморфизмов и совершенно отличается (хотя и связано) с тем фактом, что тензорные уравнения ОТО ковариантны относительно преобразований координат (то есть переключения от одного координатную карту к другой).

Только в указанном выше смысле при «переходе от одного многообразия к другому» «метрика сохраняется».

От коллектора к коллектору?

Анамитра Палит

Хосе Фигероа-О'Фаррилл

Хосе Фигероа-О'Фаррилл

Джон Сайдлс

Джузеппе

Ответы (3)

Любош Мотл

Питер Морган

Кайл

О символе Кристоффеля и векторных полях

«Легкий способ» узнать векторные поля Киллинга?

Тензорные уравнения в общей теории относительности

Вопрос о полностью антисимметричном единичном псевдотензоре

Построение тензоров Киллинга из векторов Киллинга

Предполагаемая симметрия символов Кристоффеля

Вопрос о многообразиях и преобразованиях координат

Расчет базиса координат

Как доказать, что симметричный тензор действительно является тензором?

Вывод закона преобразования для символов Кристоффеля