В теории относительности можно/должно ли каждое измерение сводить к измерению скаляра?

1. Пусть$p\in M$быть точкой в ​​многообразии$M$. Тензор типа$(r,s)$в$p$является элементом тензорного произведения между$r$копии касательного пространства в$p$а также$s$копий кокасательного пространства в$p$. Чтобы оценить тензор, вы подключаете векторы из кадра и кофрейма. Например, если кадр$(e_i)$, а также$(e^i)$является его двойственной компонентой$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$оценивается

begin update

Было прокомментировано, что$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$не может быть скаляром, потому что зависит от фрейма. Это правда, что когда вы меняете$(e_i)$,$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$изменения, и я уже говорил об этом выше. Но между этим и тем, что$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$является скаляром. Рассмотрим для простоты, что$T$является ковектором. Если мы свяжем его с вектором$v$, мы получаем скаляр$T(v)=T_jv^j$. Если мы сейчас выразим$T$а также$v$в другом кадре мы получаем тот же скаляр$T(v)=T'_j v'^j$, куда$T'_j$а также$v'^j$являются новыми компонентами. Все согласны с тем, что, стягивая ковектор с вектором, мы получаем скаляр. Но, вспомните, что$(e_i)$также являются векторами. Почему, если заменить вектор$v$с вектором$e_i$, результат не будет скаляром? В этом случае мы получаем$T(e_i)=T_je_i{}^j$. Если мы теперь выразим в другом фрейме оба$T$а также$e_i$, получаем такое же значение$T(e_i)=T'_je_i'{}^j$. Так$T(e_i)$является скаляром, который зависит от векторных полей$(e_i)$. Это тот же скаляр, когда мы выражаем оба$T$а также$(e_i)$в другом кадре.

end update

2. Есть две основные причины, по которым мы можем заниматься индексной гимнастикой. Во-первых, потому что$g_{ij}$невырожденный, его обратный (обратный)$g^{ij}$определяется однозначно, и оба они задают изоморфизмы между касательными и кокасательными расслоениями. С помощью этих изоморфизмов мы можем повышать и понижать индексы. Во-вторых, когда речь идет о ковариантной производной, определяемой связью Леви-Чивиты,$\nabla g=0$. Из-за этого при применении правила Лебница к тензорам, стянутым с метрикой, член, содержащий$\nabla g$обращается в нуль, следовательно, повышение и понижение индекса коммутируют с ковариантными производными.

3. Одна тема, обсуждаемая в вопросе, заключается в том, всегда ли оправдано идентифицировать разные тензоры с помощью изоморфизмов понижения или повышения индекса . По-видимому, поскольку операции повышения и понижения индекса являются изоморфизмами, это так. Но ниже я объясню, что это привело к давним проблемам относительности.

Метрика динамична, она эволюционирует во времени, и ее эволюция определяется уравнением поля Эйнштейна. Уравнение Эйнштейна показывает, как кривизна связана с энергией напряжения материи (в «материю» я включаю также бозонные поля. Все, что связано с тензором энергии напряжения). Теперь нет причин, по которым эта эволюция не привела бы к вырожденным метрикам. И, как известно из теорем Пенроуза и Хокинга о сингулярности , сингулярности получаются в очень общих ситуациях.

Полученные сингулярности обычно рассматриваются как хороший повод отказаться от общей теории относительности и заменить ее чем-то более радикальным. В большинстве случаев «более радикальные» подходы также страдают от сингулярностей, а когда их нет, то это происходит потому, что они изменяют динамику (уравнения Эйнштейна).

Необычности неизбежны, но они бывают разными. В некоторых случаях метрика имеет сингулярные компоненты, например, для метрики Шварцшильда$g_{tt}=1-\frac {2m}{r}$единственное число в$r=0$. В остальных случаях метрика является вырожденной, т. е.$\det g=0$. В таком случае,$g_{ij}$не определяет изоморфизма между касательным и кокасательным пространствами, и мы не можем определить$g^{ij}$. Следовательно, мы не можем повышать индексы. Мы можем их понизить, но в этом случае мы теряем информацию. С$g^{ij}$является частью определения геометрических объектов, необходимых в полуримановой геометрии (следовательно, в общей теории относительности), таких как связность Леви-Чивиты, кривизны Римана, Риччи и скалярные кривизны. Следовательно, уравнение Эйнштейна не имеет смысла.

Решение простое, но оказалось сложным в реализации. Найдите способ реконструировать всю полуриманову геометрию, не используя$g^{ij}$. Удивительно, но это возможно, и это было сделано в arXiv:1105.0201 . Специальный класс особенностей, названный полурегулярным, превратил нашу кривизну в гладкую риманову кривизну.$R_{ijkl}$. Обратите внимание, что$R^i{}_{jkl}$версия остается в общем случае сингулярной при вырождении метрики, поскольку она получается из$R_{sjkl}$заключая контракт с$g^{is}$. Обычный подход определяется первым$R^i{}_{jkl}$, но если$g^{ij}$единственное число, вы можете определить только$R_{ijkl}$. В этой ссылке были определены другие геометрические объекты. Более конкретные примеры были созданы в arXiv:1105.3404 .

Этот метод позволяет описывать особенности в терминах неособых геометрических инвариантов. Например, он помог найти несингулярное описание сингулярности FLRW ( arXiv:1112.4508 , arXiv:1203.1819 ), найти больше решений Большого взрыва, которые допускают несингулярные описания и даже удовлетворяют гипотезе Пенроуза о кривизне Вейля ( arXiv:1203.3382 ).

Но что мы делаем, когда компоненты метрики$g_{ij}$являются единственными? Например, метрика Шварцшильда ,$g_{tt}=1-\frac {2m}{r}$единственное число в$r=0$. Компонент$g_{rr}=(1-\frac {2m}{r})^{-1}$также единственное число для$r=2m$, на горизонте событий, но эта сингулярность связана с координатами, как видно из координат Эддингтона-Финкельштейна или Крускала-Секереса . Эти координаты показывают, что метрика регулярна на горизонте событий, но она оказалась сингулярной, потому что координаты Шварцшильда сингулярны на$r=2m$. Не может быть, чтобы сингулярность$r=0$тоже из-за координат? Что ж, эта сингулярность подлинная, поскольку инвариант$R_{ijkl}R^{ijkl}\to\infty$. Но, может быть, это благовоспитанная сингулярность. В arXiv:1111.4837 было показано, что существуют координаты, делающие метрику Шварцшильда аналитической в ​​сингулярности$r=0$. Следовательно, в этих новых координатах$g_{ij}$является вырожденным, а также гладким. Более того, эта особенность полурегулярна, и мы можем применить геометрию, разработанную в arXiv:1105.0201 . Несингулярные координаты были найдены также для заряженных сингулярностей ( arXiv:1111.4332 ) и вращающихся ( arXiv:1111.7082 ).

Итог: не следует отождествлять нижний и верхний индексы, потому что результирующие тензоры различны. Верно, что пока метрика невырождена, мы можем их идентифицировать, но если метрика становится вырожденной, то с этой идентификацией возникают огромные проблемы.

Обновлять. Я прокомментирую основной пример тензора энергии-импульса из статьи Брауна.

я.

В лечении на с. 131 Мизнера, они дают$T_{\mu\nu}=(\rho+P)v_\mu v_\nu+P g_{\mu\nu}$для идеальной жидкости; это не скаляризовано и фактически противоречит использованию Брауном$T^\mu_\nu$.

В MTW p131 речь идет об идеальной жидкости. Из-за этого давление одинаково во всех направлениях. У Брауна энергия напряжения для сферически-симметричного распределения вещества (которое не всегда является жидкостью) равна$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,p_r,p_\theta,p_\phi)$. Обратите внимание, что Браун считает, что недиагональных компонентов нет (нет напряжения сдвига из-за сферической симметрии и плотности импульса, потому что эта черная дыра статична). Только плотность энергии и давление.

Позже Браун считает, что энергия стресса$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,0,0)$, в предположении, что имеется только радиальное растяжение. Это допущение сделано для моделирования резьбы (фактически резьбы для каждого радиального направления), и этим оно отличается от МТС, где рассматривается жидкость.

II.

Для меня не очевидно, что это лучше соответствует измерениям, чем запись тех же правых, но с$T^{\mu\nu}$или же$T_{\mu\nu}$налево.

В таком случае,$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,0,0)$выражается в ортогональной системе координат (Браун, уравнение 3). Но репер не ортонормирован, так как$\chi^2$а также$f^2$не равны$1$. Итак, переход на$T^{\mu\nu}$или же$T_{\mu\nu}$слева изменяет значения. В общем, когда люди пишут$T^{\mu\nu}=\operatorname{diag}(\rho,P,P,P)$или что-то в этом роде, они рассматривают это в ортонормированном репере, и в этом случае$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,P,P)$.

III.

У Misner 1973 есть хорошее краткое изложение подобных вещей на с. 131, например, с правилом, утверждающим, что$T^\mu_\nu v_\mu v^\nu$следует интерпретировать как плотность массы-энергии, наблюдаемую наблюдателем с четырьмя скоростями$v$.

Это не помогает, потому что это относится к$T_{00}$Только. Если мы рассмотрим систему координат наблюдателя, скажем$(e_0,e_1,e_2,e_3)$, тогда$v=e_0=(1,0,0,0)$, следовательно,$T^\mu_\nu v_\mu v^\nu=T_{00}$. Чтобы найти остальные компоненты$T_{\mu\nu}$, следует стягиваться с другими элементами каркаса.

Я думаю, что мы не измеряем скаляры.

Если мы подумаем о локальном измерении тензора энергии-импульса, оно всегда должно соответствовать ковариантной величине$T_{ij}$. Если локальное измерение энергии/импульса возможно, оно всегда должно соответствовать ковариантной величине$p_i$. Это происходит из определения импульса, если мы думаем о лагранжиане и действиях, в классической или квантовой механике.

Скалярная величина, построенная из тензора энергии-импульса и контравариантных векторов, может соответствовать измеряемой величине, но не является "измеряемым скаляром". Более того, информация, живущая в скалярных величинах, интересна, но очень частична. Да,$T_{ij}u^iu^j$- плотность энергии, видимая наблюдателем с 4-скоростной скоростью$u^i$. Но я не думаю, что вы можете получить, например, поток импульса, видимый этим наблюдателем, в скалярном выражении. Точно так же скалярное выражение$p_iu^i$это энергия частицы энергии/импульса$p$увиденное наблюдателем 4-скоростного$u^i$, но я думаю, что вы не можете получить скалярное выражение для импульса частицы, видимой тем же наблюдателем.

Количества, как$T_i^j$интересны, но при рассмотрении локальных величин тензора энергии-импульса, видимых удаленным наблюдателем. Например, в метрике Шварцшильда$T_0^0$а также$T$являются локальным тензором энергии-импульса, но видны наблюдателю на бесконечности, то есть смещены в красную сторону. Это интересно, когда мы вычисляем общую массу (с вектором убийства$\xi^a = \delta_0^a$) с такими выражениями, как:

$M = -2\int d^3x \sqrt{g}[T_0^0 - \frac {T}{2}]$(Падманабхан 6.208 стр. 287)