Как думать о матрицах как об наблюдаемых?

У меня также был опыт: «Почему вы так определяете измерения?» при изучении эрмитовых наблюдаемых.

Сначала я просто избегал их. Я бы перевел наблюдаемые в унитарную операцию, за которой следует измерение в вычислительной основе, и думал бы об этом таким образом. Например, для меня наблюдаемая Z была «просто измерить», а наблюдаемая X была «применить Адамара, затем измерить». И$X \otimes X$наблюдаемым было «поразить оба задействованных кубита Адамаром, CNOT их на какой-то третий кубит, измерить этот кубит, а затем отменить Адамара».

В конце концов меня начало беспокоить то, что мое переописание измерений как цепи часто оказывалось длиннее. Я имею в виду, вы только посмотрите, сколько слов мне понадобилось, чтобы описать, что я сделал для$X \otimes X$! А еще мне понадобилась матрица наблюдаемых, чтобы отвечать на вопросы вроде «если я измерю А, не испортит ли это измерение В?». Затем я начал замечать, насколько полезными они были в качестве инструмента мышления, и такие идиомы, как «Z-значение» и «X-четность», стали прокрадываться в мои тексты… наблюдаемые величины до меня дошли.

1) Что значит рассматривать X и Y как наблюдаемые? Разве это не операции, меняющие текущее состояние на новое?

Учтите следующее: если вы измените порядок контролируемого Z, у вас все равно будет та же операция. Но если вы поменяете местами управление и ворота в CNOT, вы не получите ту же операцию:

Таким образом, есть смысл, в котором вентиль Z «то же самое», что и элемент управления ON, а вентиль X не обладает этим свойством. И это сводится к тому, что когда вы разбираете то, что делает Z, он ничего не делает с состояниями OFF, но умножает амплитуду состояний ON на -1.

Вы можете определить альтернативный элемент управления, который «такой же», как и ворота X. В этом случае вы обнаружите, что вас волнует различие между$|+\rangle = |0\rangle+|1\rangle$и$|-\rangle = |0\rangle-|1\rangle$, вместо различия между ON и OFF. И так уж получилось, что если вы разберете, как работает вентиль X, на его собственные значения и собственные векторы, то он оставит$|+\rangle$отдельно, но кратно амплитуде$|-\rangle$на -1. (Вы можете поиграться с элементами управления осями X и Y в Quirk. )

Когда вы обобщаете эту связь между «то, что вы оставляете в покое» и «на что вы влияете», чтобы применить ее к любой операции, вы в конечном итоге говорите о собственных значениях и собственных пространствах этих операций. И это довольно быстро приводит к заботе о том, в каком собственном пространстве операции находится состояние, и к измерению этой информации, а затем к тому, чтобы просто думать об операции как о спецификации для измерения ее собственных пространств.

Физики больше заботятся о логарифме унитарной операции, чем о самой операции, потому что ее можно включить в дифференциальные уравнения. У логарифмической формы есть и другие приятные свойства. Поэтому мы склонны говорить о наблюдаемых в терминах логарифма унитарной матрицы, т. е. эрмитовой матрицы, а не непосредственно в терминах унитарной операции.

2) Почему применение X к |0⟩ приводит к ненулевому стандартному отклонению, если X|0⟩=|1⟩? При чем тут вариация?

Потому что вы смешиваете операцию X с наблюдаемым X.

Операция X переключается между ON и OFF. Если вы возьмете его собственное разложение, вы обнаружите, что оно оставляет$|+\rangle$в одиночестве, отрицая$|-\rangle$.

Наблюдаемая X — это описание измерения, которое различает собственные пространства операции X. Другими словами, оно измеряет, находится ли система в$|+\rangle$государстве или в$|-\rangle$состояние.

$|0\rangle$ни то, ни другое$|+\rangle$ни$|-\rangle$, это суперпозиция обоих, поэтому, когда вы измеряете его значение X, вы получаете дисперсию. Состояния без дисперсии значений X не переключаются с помощью X, они становятся поэтапными.