Почему измеренное значение некоторого наблюдаемого ААА всегда является собственным значением соответствующего оператора?

Вы задаете вопрос, который может быть очень глубоким. Но позвольте мне применить не столь глубокий подход к ответу, который затрагивает природу науки.

Это экспериментальный факт, что мы измеряем только определенные значения величин на квантовом уровне. Вот и все. Природа не заботится о собственных значениях или операторах; только люди делают. При этом физики на основе таких наблюдений разработали модель, которая может предсказывать результаты экспериментов. Часть этой модели включает операторы и собственные значения, потому что она описывает природу и может делать прогнозы.

Математика — очень мощная дисциплина. Можно иметь очень большое количество теорий, начиная от алгебры и заканчивая топологическими теориями, и они основаны на внутренней очень строгой непротиворечивости. Они начинают с аксиом, развивают функциональные зависимости, и вся математическая конструкция становится самодостаточной. Вот почему в математических предложениях есть доказательства, можно доказать, что предложения либо истинны, либо ложны, и по этому поводу не может быть никаких споров, потому что математика — прекрасная самосогласованная дисциплина.

Физика примерно со времен Ньютона и позже использует математику в качестве инструмента моделирования. Накопленные наблюдения и экспериментальные данные подгоняются математически, например падение снарядов по параболе. В лучшем случае имеется теория, например, классическая механика, которая описывается полной математической моделью. Чтобы математическая модель была предсказательной и релевантной данным, необходимо ввести дополнительные типы аксиом, которые сейчас называются постулатами, а раньше — «законами», как три закона Ньютона.например. Именно так красивые математические модели могут стать актуальными для измерений и наблюдений в физическом мире. Это означает, что, в отличие от математики, правильность физической теории нельзя доказать, ее можно только подтвердить или опровергнуть неверными предсказаниями. Если обнаружится нестыковка в предсказаниях, проблема будет не в математическом аппарате, а в постулатах, которые придется менять. Пример перехода от классической механики к релятивистской механике, потому что были данные, противоречащие классической механике.

Точно так же квантовая механика стала необходимой, когда наблюдения достигли нанометровых и меньших масштабов длины, а физическая теория зависит от строго построенной математической модели (существуют различные версии математики) и постулатов, связывающих математические числа с наблюдениями.

Вот список постулатов квантовой механики, математически выраженных уравнением Шрёдингера.

1. С любой частицей, движущейся в консервативном силовом поле, связана волновая функция, которая определяет все, что можно знать о системе.
2. С каждой физической наблюдаемой q связан оператор Q, который при работе с волновой функцией, связанной с определенным значением этой наблюдаемой, даст это значение, умноженное на волновую функцию.
3. Любой оператор Q, связанный с физически измеримым свойством q, будет эрмитовым.
4. Набор собственных функций оператора Q образует полный набор линейно независимых функций.
5. Для системы, описываемой данной волновой функцией, математическое ожидание любого свойства q может быть найдено путем вычисления интеграла математического ожидания по этой волновой функции.
6. Эволюция волновой функции во времени определяется уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Вы заявляете:

Объясните, почему, когда мы проводим измерение некоторого наблюдаемого A в КМ, измеренное значение всегда является собственным значением оператора A.

Именно из-за постулатов 2) и 5). Это те постулаты, которые позволяют физически интерпретировать математические отношения. Таким образом, ответ на ваше «почему» — «потому что» эти постулаты необходимы для того, чтобы математика квантовой механики могла описывать данные в однозначном соответствии и предсказывать новое поведение. В конечном итоге эти постулаты необходимы для того, чтобы моделировать поведение материи в микромире.

Я новичок в квантовой вероятности и у меня нет опыта в физике, только в математике.

Я думаю, что полезно знать следующий момент, но я не претендую на то, что это хороший ответ на вопрос.

Ваш вопрос касается постулата:

Когда квантовая система находится в состоянии$\psi$и измерение наблюдаемого$A$(самосопряженная матрица), то Природа раскрывает$k$-е собственное значение$\lambda_k$из$A$с вероятностью${|\psi_k|}^2$(квадрат нормы проекции$\psi$на линии, натянутой$k$-й собственный вектор).

Принимая этот принцип, можно проверить, что ожидаемое значение измерения равно

В конечномерной квантовой вероятности лучше всего начать с определения «ожидания» наблюдаемой$A$под государством$\psi$по приведенной выше формуле.

Это похоже на ожидание классической вероятности, потому что оно линейно по$A$, играющая роль случайной величины. Огромная разница заключается в том, что$\mathbb{E}_\psi$определяется не на множестве классических случайных величин, а на множестве самосопряженных матриц в основном гильбертовом пространстве.

Но следуя этой аналогии с классической вероятностью, естественно сказать, что преобразование Фурье$A$является функцией$t$

Теперь это можно проверить

Вот почему мой ответ неудовлетворителен: подводя итог, я просто утверждаю, что если вместо постулирования правила, включающего собственные значения, кто-то постулирует, что среднее измерение$A$под$\psi$является

Перейдем к математике. Мы описываем это в терминах линейных операторов, действующих в линейном пространстве. Каждый элемент линейного пространства$|\psi\rangle$закодировать возможные приготовления к измерению. И каждый эрмитов оператор$A$связано с чем-то, что мы можем измерить. Ожидаемое значение наблюдаемой определяется как:

Если мы выберем собственный вектор$A$у нас есть это:

поэтому у нас нет колебаний по результату. Итак, мы можем определить собственное значение$A$как «истинное» значение наблюдаемого в этом состоянии. Эти собственные векторы и собственные значения должны существовать, потому что если вы измеряете энергию, а затем энергию снова и снова, результат не будет колебаться (это факт Природы).

Другие факты Природы могут направить нас к другим выводам о том, каким должно быть ваше описание в терминах линейных операторов на линейных пространствах. Если вы измеряете что-то по одному результату, все остальные результаты исключаются из числа возможных результатов повторного измерения. При этом вы можете понять, почему операторы должны быть эрмитовыми (ортогональные собственные векторы + действительные собственные значения). Каждое собственное значение представляет собой возможное математическое ожидание с нулевой флуктуацией. Итак, это возможные вещи, которые мы можем измерить относительно наблюдаемого.

Мы можем построить нечто подобное: каждая физическая наблюдаемая$A$описываются:

с$|\alpha\rangle$подготовка системы после измерения$A$по стоимости$\alpha$. И тогда принцип неопределенности может быть закодирован существованием некоторой наблюдаемой$B$с$|\beta\rangle$не параллельно каждому из этих$|\alpha\rangle$состояния. Или, другими словами,$[A,\,B]\neq 0$.

Если вы дважды измерите одну и ту же наблюдаемую, вы получите тот же ответ. Способ квантовой механики добиться этого заключается в том, что после первого измерения система остается в состоянии, имеющем определенное значение наблюдаемого.

Комментарий @Virgo на самом деле является частью ответа. Это аксиома квантовой механики. Таким образом, правильный ответ основного потока состоит в том, что никто не знает.

У меня были такие же сомнения, когда я начал изучать QM. Хотя мое объяснение этому расплывчато, но оно дает общее представление (я нашел это в книге «Введение в квантовую механику» Дэвида Дж. Гриффита).$\Psi$, вы не получите один и тот же результат каждый раз. Давайте гипотетически подготовим состояние, в котором каждое измерение Q обязательно вернет одно и то же значение (назовем его q). Это состояние называется детерминированным состоянием. Стандартное отклонение Q в этом состоянии было бы равно нулю,