Измерение некоммутирующих наблюдаемых сразу

Учитывая гильбертово пространство ЧАС (конечномерный для ясности) и два некоммутирующих оператора

А "=" ∑ а а | а ⟩ ⟨ а |
и
Б "=" ∑ а б | б ⟩ ⟨ б | ,
можно ли найти гильбертово пространство ЧАС ′ и два коммутирующих оператора А ′ , Б ′ с таким же спектром А и Б , вместе с унитарным оператором U : ЧАС → ЧАС ′ , такое, что для каждого | ψ ⟩ в ЧАС , справедливо следующее

| ⟨ ψ | а ⟩ | 2 "=" Т р [ п ( а ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U † ]
для каждого собственного значения а из А . ( п ( а ) является проектором на собственное пространство А ′ относительно собственного значения а .)

И аналогично для Б ?

Если вышеизложенное верно, физическая интерпретация будет заключаться в том, что в принципе возможно «измерить» два некоммутирующих оператора путем подходящего расширения и развития системы в том смысле, что вы могли бы впоследствии измерить два коммутирующих оператора, дающих ту же статистику, что и невыездные. Я думаю, это невозможно, но я не смог найти простого доказательства, есть предложения?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Как справедливо отмечено ниже, говорить об унитарности между двумя разными гильбертовыми пространствами (с разной размерностью) неправильно, поэтому я поставлю вопрос более точно.

Данный ЧАС , А и Б как указано выше, можно ли найти место В , операторы А ′ , Б ′ действующий в ЧАС ′ "=" ЧАС ⊗ В и с тем же спектром А и Б но с [ А ′ , Б ′ ] "=" 0 вместе с унитарным оператором U : ЧАС ′ → ЧАС ′ такой, что

Т р [ п ( а ) ⊗ я г     | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] "=" Т р [ п ′ ( а )   U | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | U † ]     ∀ | ψ ⟩ е ЧАС , а е о ( А )

Где | 0 ⟩ является фиксированным состоянием в В , п ( а ) является проектором на собственное пространство А относительно собственного значения а и п ′ ( а ) то же самое для А ′ . ( о ( А ) обозначает спектр А ).

И аналогично для Б?

ВОЗМОЖНЫЙ ОТВЕТ: Вдохновленный (но не полностью убежденный) данными ответами, я думаю, что нашел бесспорное доказательство того, что вышесказанное невозможно. Как уже было сказано ниже, нахождение А ′ и Б ′ с приведенным выше запросом эквивалентно поиску А ″ (и Б ″ ) для которого

Т р [ п ( а ) ⊗ я г | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] "=" Т р [ п ″ ( а ) | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] (и аналогично для Б).

То есть мы можем поглотить унитарную эволюцию в определении А ′ и Б ′ , так и будем. Обратите внимание, что это не означает, что А ′ "=" U А U † .

Кроме того, из вышеизложенного следует, что | а ⟩ | 0 ⟩ должно быть собственным состоянием для А ′ с собственным значением а . Более того, если ввести основу | а ⟩ | н ⟩ для полного тензорного пространства получаем, что ни один вектор вида | а ′ ⟩ | н ⟩ с а ′ ≠ а может появиться при разложении общего собственного вектора А ′ относительно а . (Ортогональность собственных векторов относительно различных собственных значений). Следовательно, общий собственный вектор А ′ относительно а должен быть в форме | а ⟩ | в ⟩

Отсюда и проектор п ′ ( а ) вынужден быть в форме п ( а ) ⊗ п В ( а ) , с п В ( а ) подходящий проектор размерностью не менее 1 (он должен проецировать не менее чем на | 0 ⟩ ). Конечно, аналогичный результат справедлив для Б ′ .

Наконец мы можем написать 0 "=" [ п ′ ( а ) , п ′ ( б ) ] | ψ ⟩ | 0 ⟩ "=" ( [ п ( а ) , п ( б ) ] | ψ ⟩ )   | 0 ⟩ для каждого | ψ ⟩ , а , б и это подразумевает, что [ А , Б ] "=" 0 это абсурд.

Я не понимаю. Как вы «расширили» систему? Унитарные операторы могут только вращать пространство.
Я был немного неряшлив в этом. Рассмотрим H 'как тензор H V, тогда унитарный выше должен работать, как описано, если входное состояние равно |psi>|0> для фиксированного |0> и любого |psi>. Я имел в виду ту же установку теоремы о запрете клонирования.
Итак, вы увеличиваете пространство и выполняете преобразование подобия?
Независимо от того, коммутируют два оператора и их спектральные семейства или нет, сохраняется унитарное преобразование, а спектральное разложение самосопряженных операторов уникально. Таким образом, невозможно получить два коммутирующих оператора путем унитарного преобразования двух некоммутирующих операторов.
Также помните, что у вас могут быть очень разные операторы с одним и тем же спектром. Наличие одного и того же спектра не означает, что два оператора одинаковы с физической точки зрения. Таким образом, даже если вы можете выбрать два коммутирующих оператора с тем же спектром, что и у исходных, они не будут унитарно связаны с остальными и будут иметь разный физический смысл. Вы просто измеряете что-то другое.
@yuggib, как и в приведенном ниже ответе, вы предполагаете, что A '= UAU *, почему? Является ли этот выбор единственным совместимым с требованием, чтобы у А была та же статистика, что и у А?
Я говорю, что два оператора с одинаковым спектром не обязательно равны. Они могут быть очень разными. Спектр важен, но он никоим образом не определяет однозначно физический смысл оператора. Очень глупый пример: операторы положения и импульса имеют один и тот же спектр, но совершенно разный физический смысл! Единственный способ характеризовать оператор - спектральное разложение. Кроме того, когда вы пишете Т р [ п ( а ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U * ] , так как трасса инвариантна относительно циклических перестановок, это как писать...
Т р [ U * п ( а ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | ] т.е. вы превращаетесь обратно в ЧАС Ваша спектральная проекция. Это связано исключительно с U * А ′ U . Говоря, что это равно элементу | ⟨ ψ , а ⟩ | 2 означает, что вы определяете спектральное разложение, ваш оператор А , быть А "=" U * А ′ U . Но если у вас уже было А , никто не уверяет вас, что ваш предыдущий А равно этому вновь определенному U * А ′ U . На самом деле это неверно, поскольку, как уже отмечалось, две коммутирующие наблюдаемые не могут быть унитарно преобразованы в некоммутирующие и наоборот.
Я думаю, что моя первоначальная небрежность создает некоторую путаницу: на самом деле нельзя говорить об унитарности между H и H' (как правильно заметил Баббл выше), поэтому я переформулировал проблему в постановке «теоремы о запрете клонирования»: начальное состояние равно |psi>|0> принадлежит тензору H V, на этом пространстве действует унитарное U. Вы не можете тогда сказать, что Tr[S |psi><psi| |0><0|] = Tr[T |psi><psi| |0><0] подразумевают T = S, так как в правой части у вас не самый общий проектор. Я отредактирую вопрос, чтобы быть более ясным.
С другой стороны, я полностью согласен с концепцией, что «изоспектральные» операторы могут быть совершенно разными. И я согласен с вами, что в (гипотетическом) вышеуказанном приборе мы на самом деле не «измеряем» X и P одновременно.
@giuliobullsaver, пожалуйста, объясните, почему мой ответ не распространяется на ваш обновленный вопрос?
Если я правильно понимаю, вы говорите, что тензор A 1 и тензор B 1, с коммутатором C тензор 1, с [A,B]=C, после любой эволюции U будет поддерживать коммутатор C тензор 1. Но никто не заставляет вас возьмите A' как тензор UA 1 U* (и то же самое для B), поэтому вы не доказали, что A' и B' с запрошенным свойством не могут существовать.
Что ж, я обновил свой ответ, включив в него обратимые преобразования. Согласны ли вы, по крайней мере, с тем, что если преобразование необратимо, то мы не можем получить информацию об A(B) из A'(B')?
На самом деле нет, рассмотрим эту ситуацию. Пусть A = diag{1,2}, а A' = A тензор A. A' имеет определитель 2 * 2 = 4, поэтому его нельзя записать в виде SAS^(-1), определитель которого равен 2. Тем не менее, измерение A' на состояние |psi>|0>, где |0> — собственное состояние A, даст ту же статистику, что и измерение A в состоянии |psi>.
Да, потому что он действует на большее пространство. Комбинация расширения оператора на большее пространство плюс обратимое преобразование не может сделать операторы, которые не коммутируют, коммутируют, как показано ниже.
Но никто не заставляет вас брать А' как унитарный, приложенный к А тензору 1, т. е. как результат описанной вами операции.

Ответы (2)

Если А ′ и Б ′ коммутируют, то существует набор взаимных собственных векторов А ′ и Б ′ . Для любого собственного базиса А ′ существует унитарное преобразование Вт который переводит этот базис во взаимный собственный базис А ′ и Б ′ . Следовательно, если существует унитарная операция такая, что | ⟨ ψ | б ⟩ | 2 "=" Т р [ п ( б ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U † ] для одного базиса есть тот, который сделает утверждение верным при проектировании на взаимный собственный базис А ′ и Б ′ .

Работая в этом базисе, мы можем, по предположению, написать

| ⟨ ψ | а ⟩ | 2 "=" Т р [ п ( а ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U † ]
Однако, поскольку мы работаем во взаимном собственном базисе А ′ и Б ′ мы также можем написать
| ⟨ ψ | б ⟩ | 2 "=" Т р [ п ( б ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U † ] "=" Т р [ п ( а ) U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U † ] "=" | ⟨ ψ | а ⟩ | 2

Параметр | ψ ⟩ "=" | а ⟩ для каждого а подразумевает, что А и Б имеют взаимный собственный базис, что противоречит нашему предположению, что А и Б не ездил.

Изменить: более простое доказательство

0 "=" [ А ′ , Б ′ ] "=" А ′ Б ′ − Б ′ А ′ "=" U А U † U Б U † − U Б U † U А U † "=" U ( А Б − Б А ) U † "=" U [ А , Б ] U † ⇒ [ А , Б ] "=" 0

Как вы обосновываете равенство Т р [ п ( б ) … ] "=" Т р [ п ( а ) … ] ? Это правильно тогда и только тогда, когда А и Б имеют одинаковое спектральное разложение, т. е. равны.
Я отредактировал, чтобы уточнить этот момент. Мы должны иметь возможность выбирать U так что мы проецируем на взаимный собственный базис двух операторов.
С вашей нотацией п ( б ) является проекцией на собственное значение б из Б ′ , п ( а ) аналог для А ′ . Они не одинаковы. Есть проекция п ( а , б ) "=" п ( а ) п ( б ) "=" п ( б ) п ( а ) который проецируется на собственное пространство б для Б и а для А ′ но в целом пространство меньше, чем то, где либо п ( б ) или п ( а ) проекты. Тогда равенство неверно. Я думаю, что ваше второе доказательство лучше проясняет вашу точку зрения и без ошибок.
@BySymmetry, в своем редактировании вы предполагаете, что A' = UAU*. Не могли бы вы мотивировать это? Я согласен с тем, что A', как определено выше, будет иметь ту же статистику по U|psi>, что и A по |psi> (рисунок Гейзенберга), но является ли это единственно возможным выбором A' с этим свойством?
А и А ′ имеют тот же спектр и полный набор собственных векторов, поэтому существует U такой, что U А U † "=" А ′ . И @yuggib ты прав. Поскольку первое доказательство есть, я попытаюсь его спасти, просто оно не будет очень красивым.
Рассмотрим A = diag{1,1,2} и A' = diag{2,2,1}, они имеют одинаковый спектр, но не связаны унитарной единицей.
@giuliobullsaver на самом деле это разные операторы, с разным спектральным разложением и разным значением.

Во-первых, обратите внимание, что унитарное преобразование не может изменить коммутационные соотношения.

А Б − Б А "=" С
Используйте тот факт, что U † U "=" U U † "=" 1 получить,
А U U † Б − Б U U † А "=" С
а затем умножить на сопряженное транспонирование слева и U справа,
U † А U U † Б U † − U † Б U U † А U † "=" U † С U "=" А Б − Б А "=" С

РЕДАКТИРОВАТЬ: это также работает, если вы замените U с любым обратимым преобразованием С для которого существует С − 1 . Просто используйте С С − 1 "=" 1 . Если преобразование необратимо, вы не сможете восстановить информацию о А и Б от ваших измерений.

Например, давайте обобщим ваш пример,

Т р [ п ( а ) ⊗ я г     | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] "=" Т р [ п ′ ( а )   С | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | С − 1 ] ,
так что С любое обратимое преобразование. Используя свойство следа,
Т р [ п ( а ) ⊗ я г     | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] "=" Т р [ С − 1 п ′ ( а )   С | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] ,
переопределить,
Т р [ п ( а ) ⊗ я г     | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] "=" Т р [ п С ′ ( а )   | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] .
Это эквивалентно
[ ( ⟨ ψ | ⊗ ⟨ 0 | ) | а ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ] 2 "=" [ ⟨ ( ψ | ⊗ ⟨ 0 | ) С | а ′ ⟩ ] 2
Поскольку это справедливо для любого | ψ ⟩ включая | а ⟩ и тот факт, что собственные векторы нормализованы, следует | а ⟩ "=" С | а ′ ⟩ . Теперь с тех пор А ′ и Б ′ коммутируют, они имеют одни и те же собственные состояния | а ′ ⟩ . Поэтому, следуя аналогичной процедуре, начиная с,
Т р [ п ( б ) ⊗ я г     | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | ] "=" Т р [ п ′ ( а )   С | ψ ⟩ ⟨ ψ | ⊗ | 0 ⟩ ⟨ 0 | С − 1 ]
мы получаем, что | б ⟩ "=" С | а ′ ⟩ , | б ⟩ "=" | а ⟩ а это значит что А и Б имеют одни и те же собственные состояния, что означает, что они коммутируют.

В чем суть? Дело в том, что после того, как мы проведем проективное измерение совместного собственного состояния, | а ′ ⟩ из А ′ и Б ′ мы хотим сопоставить информацию с тем, какие собственные состояния А и Б это соответствует. Однако любая «карта» М ( | а ′ ⟩ ) "=" | а ⟩ не является картой, если она также отображает какое-то другое состояние М ( | а ′ ⟩ ) "=" | б ⟩ ≠ | а ⟩ (если А и Б не ездить на работу | б ⟩ в общем случае является некоторой суперпозицией собственных состояний | а ⟩ ) . То есть он не может дать нам определенного результата о том, какое значение Б полученное измерение или наоборот.

Измерение некоммутирующих наблюдаемых сразу
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v