Как два независимых состояния поляризации фотона связаны с двумя состояниями спиральности?

В датчике излучения трехвекторный потенциал имеет наиболее общее разложение по моде Фурье, определяемое выражением

$$\textbf{A}(\textbf{x})=\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}\sum\limits_{r=1}^{2}[\boldsymbol{\epsilon}_r(\textbf{p})a_{\textbf{p},r}e^{i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}+\boldsymbol{\epsilon}^*_r(\textbf{p})a^\dagger_{\textbf{p},r}e^{-i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}].\tag{1}$$ Используя определение спинового оператора $$S^{ij}=\int d^3\textbf{x}:(A^i\partial_0 A^j-A^j\partial_0 A^i):$$ и уравнение (1), получается после выполнения интеграла по пространству $$S^{ij}=i\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\sum\limits_{r,s}[\epsilon_r^i(\textbf{p})\epsilon_s^{j*}(\textbf{p})-\epsilon_s^{i*}(\textbf{p})\epsilon_r^j(\textbf{p})]a^\dagger_{\textbf{p},r}a_{\textbf{p},s}.$$ Действие спинового оператора $S^{ij}$, как получено в уравнении (2), в одночастичном состоянии $a^\dagger_{\textbf{k},m}|0\rangle$, находит, $$S^{ij}a^\dagger_{\textbf{k},m}|0\rangle=i\sum\limits_{s=1}^{2}\Bigg[\epsilon_m^i(\textbf{p})\epsilon_s^{j*}(\textbf{k})-\epsilon_s^{i*}(\textbf{k})\epsilon_m^j(\textbf{k})\Bigg]a^\dagger_{\textbf{k},s}|0\rangle.$$

Давайте выберем$\textbf{k}=(0,0,k)$так что спиральность измеряется$\textbf{S}\cdot\hat{\textbf{k}}=S^3=S^{12}$. Мы выбираем,$\boldsymbol{\epsilon}_{1}(\textbf{k})=1/\sqrt{2}(1,i,0)$и$\boldsymbol{\epsilon}_{2}(\textbf{k})=1/\sqrt{2}(1,-i,0)$. Поэтому,

$$S^3a^\dagger_{\textbf{k},1}|0\rangle=(+1)a^\dagger_{\textbf{k},1}|0\rangle,\\ S^3a^\dagger_{\textbf{k},2}|0\rangle=(-1)a^\dagger_{\textbf{k},2}|0\rangle.$$

Заключение Одночастичное состояние с правой круговой поляризацией соответствует спиральности$+1$, а одночастичное состояние с левокруговой поляризацией соответствует состоянию со спиральностью$-1$.

---

Обновлять

Электрическое поле определяется выражением

$$\textbf{E}(\textbf{x})=-\frac{\partial\textbf{A}}{\partial t}=(-i)\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{E_\textbf{p}}{2}}\sum\limits_{r=1}^{2}[\boldsymbol{\epsilon}_r(\textbf{p})a_{\textbf{p},r}e^{i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}-\boldsymbol{\epsilon}^*_r(\textbf{p})a^\dagger_{\textbf{p},r}e^{-i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}].\tag{2}$$ и

$$\textbf{B}(\textbf{x})=\nabla\times\textbf{A}=(i)\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{E_\textbf{p}}{2}}\sum\limits_{r=1}^{2}[\hat{\textbf{p}}\times\boldsymbol{\epsilon}_r(\textbf{p})a_{\textbf{p},r}e^{i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}-\hat{\textbf{p}}\times\boldsymbol{\epsilon}^*_r(\textbf{p})a^\dagger_{\textbf{p},r}e^{-i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}].\tag{3}$$ где я использовал тот факт, что $E_{\textbf{p}}=|\textbf{p}|$. С использованием $\hat{\textbf{p}}=(0,0,1)$, нетрудно проверить, что операторы $\textbf{E}\pm i\textbf{B}$воздействующий на вакуум $|0\rangle$соответственно создает одночастичные состояния фотона с право-круговыми и лево-круговыми состояниями поляризации. Мне лень заниматься алгеброй.

Ссылка Современное введение в квантовую теорию поля - Мишель Маджоре.