Почему спиральность пропорциональна спину частицы и имеет два значения?

Как это можно показать, не используя формализм малых групп?

Пусть у нас есть классификация Вигнера для неприводимого представления группы Пуанкаре. Для безмассового случая собственные значения двух операторов Казимира группы, квадраты оператора Паули-Любанского и оператора импульса, Вт ^ α Вт α , п ^ α п ^ α , равно нулю.

Вместе с Вт ^ α п ^ α "=" 0 это приводит к выражению Вт ^ α "=" час ^ п ^ α , где собственные значения час ^ имеет размерность, подобную угловому моменту. Это называется спиральностью. Я хочу получить его "свойства" без использования формализма малых групп (другими словами, не как Вайнберг).

@WetSavannaAnimalakaRodVance . Пусть у нас есть классификация Вигнера для неприводимого представления группы Пуанкаре. Для безмассового случая собственные значения двух операторов Казимира группы, квадраты оператора Паули-Любанского и оператора импульса, Вт ^ α Вт α , п ^ α п ^ α , равно нулю.
Извините, я немного не понял суть вашего вопроса. Но лучше иметь более полную характеристику.
Вместе с Вт ^ α п ^ α "=" 0 это приводит к выражению Вт ^ α "=" час п ^ α , где час имеет размерность, подобную угловому моменту. Это называется спиральностью. Я хочу получить его "свойства" без использования формализма малых групп (другими словами, не как Вайнберг).
Почему вы пытаетесь избегать Вайнберга? Я должен представить, что то, что вы делаете, сводится к вычислению маленькой группы более формальным способом. В любом случае, я знаю, что вывод Вайнберга о том, что спиральность безмассовых частиц имеет два значения, основан на топологических соображениях — недостаточно думать об инфинтезимальных преобразованиях и, следовательно, недостаточно думать о действии генераторов. Я предполагаю, что даже если вы найдете альтернативный вывод, чем вывод Вайнберга, он не обойдет этот факт, вам придется как-то учитывать топологию группы.
Возможно, вам следует изменить название вашего вопроса. Спиральность — измеряемый факт, как и другие измерения, описывающие элементарное взаимодействие в реальной природе. Теоретические формулировки пытаются описать эту реальность. Вопрос звучит так, как будто вы говорите об определении спиральности, которая является экспериментальной наблюдаемой.
@PhysiXxx: для безмассовой частицы спиральность и хиральность - одно и то же. Хиральность определяется тем, преобразуется ли частица в правое или левое представление (группы Лоренца). То есть: представления ( час , 0 ) иметь хиральность час , а представления ( 0 , час ) иметь хиральность − час .
@Аннав. "...Теоретические формулировки пытаются описать эту реальность...", - это вопрос интерпретации. Значения спиральности (и значения спина) могут быть получены в теоретическом формализме (только в более общем виде) точно так же, как экспериментально.
@Тримок. "...Для безмассовой частицы спиральность и хиральность - одно и то же...", - почему?
@Андрей . Может быть, вы правы. Но я не хочу учить больше абзацев из книги Вайнберга, поэтому хочу найти более простой метод.
Теоретический формализм — это чистая математика, если только он не моделирует природу. Только тогда это становится физикой. Может быть n теоретических формализмов, где n — большое число, совершенно бесполезное для интерпретации физики. В конце концов физические величины определяют наблюдения, а не математика.
@PhysiXxx: для массивных частиц, таких как электроны, спиральность зависит от кадра. Предположим, ваш электрон имеет некоторую скорость в г .Если вы возьмете новую систему отсчета, скорость которой относительно электрона положительна, у вас будет противоположная спиральность, чем если бы вы взяли систему отсчета, скорость которой относительно электрона отрицательна. Теперь для безмассовых частиц у вас не может быть системы отсчета, скорость которой больше, чем с , поэтому спиральность/хиральность постоянна и фактически исходит из представлений группы Лоренца.
@Тримок. "...То есть: представления (h,0) имеют киральность h, а представления (0,h) имеют киральность −h...", - это постулат?
@PhysiXxx: Нет, хиральность определяется в соответствии с теорией групп. Левосторонние киральные представления и правосторонние киральные представления имеют противоположную киральность.
@Тримок. Т.е. я могу показать, что безмассовое состояние левого фермиона имеет спиральность ℏ 2 , правильное состояние - − ℏ 2 , используя уравнение Дирака и его решение. Также, может быть, я могу показать аналогичную вещь ( ℏ , − ℏ ) для фотона. Но как его можно обобщить?
"...Нет, киральность определяется в соответствии с теорией групп. Левосторонние киральные представления и правосторонние киральные представления имеют противоположную киральность...", - и где можно об этом прочитать, пожалуйста?

Ответы (1)

  1. Построение формулы спиральности с использованием 3-векторной записи

Нулевая компонента вектора Паули Любански

Вт 0 "=" ϵ 0 я Дж к Дж я Дж п к "=" ϵ я Дж к Дж я Дж п к

Генераторы углового момента

Дж к "=" ϵ я Дж к Дж я Дж

Таким образом

Вт 0 "=" Дж к п к "=" Дж → . п →

Орбитальный угловой момент

л → "=" Икс → × п →

ортогонален импульсу:

л → . п → "=" 0

А так как полный угловой момент есть векторная сумма орбитального и спинового угловых моментов

Дж → "=" л → + Σ →

Таким образом

Вт 0 "=" Дж к п к "=" Дж → . п → "=" ( Дж − л → ) . п → "=" Σ → . п →

Теперь, так как

Вт 0 "=" час ^ п 0

а для безмассовой частицы

п 0 "=" п

Мы получаем:

час ^ "=" Σ → . п → п 0 "=" Σ → . п ^

  1. Оператор спиральности

час ^ "=" Σ . п ^

где Σ является спиновым оператором и п ^ - единичный вектор импульса - проекция на ось п ^ спинового оператора, поэтому можно ожидать, что он будет иметь спиральность λ собственные значения λ , λ − 1 , ..., − λ .

Однако собственные векторы, соответствующие всем собственным значениям, кроме ± λ не являются физическими, поскольку описывают продольные поляризации, которых нет у свободных безмассовых частиц.

Вот пример безмассового спина 1 (фотон). В этом случае мы можем выбрать спиновые операторы как:

Σ Икс "=" [ 0 0 0 0 0 − я 0 я 0 ]

Σ у "=" [ 0 0 я 0 0 0 − я 0 0 ]

Σ г "=" [ 0 − я 0 я 0 0 0 0 0 ]

Действие оператора спиральности на (скажем) электрическое поле в импульсном представлении:

час ^ Е → "=" я [ 0 − п ^ г п ^ у п ^ г 0 − п ^ Икс − п ^ Икс п ^ Икс 0 ] [ Е Икс Е у Е г ] "=" я п ^ × Е →

Таким образом:

час ^ 2 Е → "=" − п ^ × ( п ^ × Е → ) "=" Е → − п ^ ( п ^ . Е → )

Но, так как для свободного электромагнитного поля:

п ^ . Е → "=" 0

Мы получаем:

час ^ 2 "=" 1
,

и единственными допустимыми собственными значениями являются ± 1

"...оператор спиральности ℏ "=" Σ п ^ . . . , откуда вы взяли это определение?
"...собственные векторы, соответствующие всем собственным значениям, кроме ±λ, не являются физическими, поскольку описывают продольные поляризации, которых нет у свободных безмассовых частиц...", - можно ли это обобщить, не прибегая к примерам?
@PhysiXxx Я добавил обновление, показывающее вычисление спиральности в трехвекторной нотации. Обобщение случая электромагнитного поля (о котором я знаю) требует использования спинорной записи уравнений безмассового поля. Это требует больше, чем несколько строк. Я постараюсь найти хорошую ссылку.
Спасибо! "...Я постараюсь найти хорошую ссылку...". Буду признателен.
Но возникает вопрос о выводе выражения оператора спиральности. Как вы избежали проблем с п ^ 0 (другими словами - интерпретируя его как скаляр) при переходе от
Вт ^ 0 "=" час ^ п ^ 0
к
час ^ "=" Вт ^ 0 п 0 ?
Вы использовали что-то вроде
Вт ^ 0 ψ "=" час ^ п ^ 0 ψ "=" час ^ п 0 ψ ⇒ час ^ ψ "=" Вт ^ 0 п 0 ψ ?
Можно говорить о двух значениях спиральности, равной ± с только в случае сохранения четности в теории. Если нейтрино безмассовое, оно имеет только одно значение спиральности, потому что слабое взаимодействие не сохраняет четность. Но я не знаю, как рассуждать о спиральности в случае свободных полей.
@PhysiXxx Я вижу, что вычисление оператора спиральности является классическим, и, поскольку энергия безмассовой частицы никогда не равна нулю, на нее можно разделить. Получив классическое выражение, квантуем по правилам канонического квантования
@PhysiXxx Собственное значение спиральности в отличие от проекции спина указывает на идентичность частицы. Например, фотон с положительной спиралью отличается от фотона с отрицательной спиралью. Это связано с тем, что разные спиральности соответствуют разным представлениям группы Пуанкаре. Это также можно увидеть в фоковском пространстве фотона, где фотоны с разной спиральностью имеют разные операторы рождения и уничтожения.
Почему спиральность пропорциональна спину частицы и имеет два значения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v