Как Фридман и Леметр, опираясь на «оригинальную» теорию ОТО Эйнштейна, нашли расширяющееся решение?

уравнения Эйнштейна с$\Lambda=0$вполне способны описать расширяющееся пространство-время. Космологический принцип приводит к метрике вида

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 d\Sigma^2$$

где$a(t)$- так называемый масштабный коэффициент, который обычно устанавливается равным$1$в настоящее время и$d\Sigma^2$является пространственной 3-метрикой с постоянной кривизной$\frac{k}{a^2} = \frac{1}{R_0^2}$с$R_0$радиус кривизны. Применение уравнений Эйнштейна к этой метрике приводит к уравнениям Фридмана , которые управляют изменением во времени масштабного фактора:

$$\frac{\dot a^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8\pi G\rho}{3} \qquad (1)$$ $$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)\qquad (2)$$ где$k\in\{0, \pm 1\}$обозначает кривизну пространственноподобных гиперповерхностей$\Sigma_t$,$\rho$плотность энергии (т.$00$компонента тензора энергии-импульса) и$p$- соответствующее давление. Чтобы Вселенная была статична, нам нужно было бы, чтобы$\dot a =0$; уравнение (1) означает, что

$$a^2 = \frac{3kc^2}{8\pi G\rho} \implies \frac{1}{R_0^2} = \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G\rho}{3c^2}$$

и поэтому что$k>0$, что означает, что Вселенная пространственно замкнута - сфера радиусом$R_0$. Однако это не стационарная конфигурация; если$\rho + \frac{3p}{c^2} \neq 0$, затем$\ddot a < 0$и масштабный коэффициент начнет уменьшаться. Для обычного (холодного) вещества и электромагнитного излучения$p = 0$и$p=\frac{\rho c^2}{3}$, соответственно, так что, казалось бы, это так.

---

Добавление космологической постоянной$\Lambda$решает эту проблему. Уравнения Фридмана становятся

$$\frac{\dot a^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8\pi G\rho+\Lambda c^2}{3} \qquad (3)$$ $$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}\qquad (4)$$

Выбор$\frac{\Lambda c^2}{3}=\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)$делает$\ddot a=0$; параметр$\dot a=0$в уравнении (3) тогда дает

$$a^2=\frac{kc^2}{4\pi G\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right)}$$

Предполагая холодную нормальную материю ($p=0$), это можно записать

$$\frac{1}{R_0^2}=\frac{k}{a^2} = \frac{4\pi G \rho}{c^2} = \Lambda$$

Однако это решение является хрупким; обратите внимание, что если$a\rightarrow a+\delta a$, затем$\rho \rightarrow \rho + \delta \rho$где

$$\delta \rho = \frac{k}{a^2}\left(1-2\frac{\delta a}{a}\right)$$ что означает через уравнение (4) $$\ddot{\delta a} \propto \delta a$$ и поэтому равновесие неустойчиво. Небольшие возмущения вызовут неконтролируемое расширение$(\delta a > 0 )$или сокращение$(\delta a < 0 )$.

---

Подтверждение (Хаббл, 1929 г.) того, что Вселенная не была статична — что масштабный фактор действительно развивался вместе с$\dot a > 0$- означало, что этот обходной путь с использованием, казалось бы, произвольного$\Lambda$было ненужным, и поэтому Эйнштейн отказался от него. Лишь в 1998 году было обнаружено, что расширение Вселенной ускоряется , а это означает, что$\ddot a>0$.

Это другой зверь. Либо требуется космологическая постоянная, которая достаточно велика, чтобы сделать правую часть уравнения (4) положительной, либо требуется новый вид материи с уравнением состояния$p < -\frac{1}{3}\rho c^2$(или, возможно, их комбинация). Основная форма$\Lambda_{CDM}$модель учитывает только космологическую постоянную; расширения или модификации модели допускают различные возможности (см., например, квинтэссенцию ).

---

Обычное вещество и энергия всегда будут заставлять Вселенную сжиматься, и скорость сжатия будет увеличиваться со временем.

Это неправда. Если мы предположим плоскую Вселенную, содержащую только холодное барионное вещество (то есть пыль, с$p=0$), уравнения Фридмана дают

$$a(t) \propto t^{2/3}$$

который безгранично увеличивается навсегда. Конечно, реальное устройство Вселенной более интересно, чем это, но дело в том, что если$\dot a>0$в какой-то начальный момент времени космологическая постоянная не требуется, чтобы описать вселенную, которая расширяется вечно.