Какова точная связь между возрастом Вселенной и космологической постоянной?

Точная формула времени, прошедшего с момента Большого взрыва, представляет собой интеграл

$$t=\int_0^a \frac{{\rm d}a'}{a' \ H(a')}$$

где$H(a)$состоит из плотности излучения$\Omega_R$, плотность материи (темной+обычной)$\Omega_M$, кривизна$\Omega_K$и плотность темной энергии$\Omega_{\Lambda}$:

$$H(a)=H_0 \ \sqrt{\Omega_R/a^4+\Omega_M/a^3+\Omega_K/a^2+\Omega_{\Lambda}}$$

Если вы ищете возраст Вселенной сегодня, установите$a=1$, если вы хотите узнать, сколько лет было Вселенной, когда масштабный коэффициент был равен половине установленного сегодня$a=1/2$и если вы ищете возраст Вселенной, когда масштабный коэффициент будет вдвое больше, чем сегодня,$a=2$.

Это уравнения Фридмана, которые также используются в ΛCDM-модели. С$H_0=67150 \ {\rm m/Mpc/sec}$,$\Omega_R=10^{-4}$(включая нейтрино, одно только излучение будет 5e-5),$\Omega_M=0.315$,$\Omega_K=0$,$\Omega_{\Lambda}=1-\Omega_R-\Omega_M-\Omega_K$это дает

$$t=13.841 \ {\rm Gyr}$$

Когда$t=f/H_0$функция$f$становится

$$f=\int_0^a \frac{{\rm d}a'}{\sqrt{\Omega_R/a'^2+\Omega_M/a'+\Omega_K+\Omega_{\Lambda} \ a'^2}}$$

Поскольку у этого интеграла нет замкнутого решения, за исключением случаев, когда вы устанавливаете$\Omega_M+\Omega_{\Lambda}=1$и все остальные$\Omega$к$0$что сводит уравнение для$a$к

$$a=\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{\Omega_M}{\Omega_{\Lambda} }} \sinh \left(\frac{t \left(3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda} }\right)}{2} \right)\right)^2}$$

и поэтому$t$к

$$t=\frac{2 \sinh ^{-1}\left(\sqrt{\frac{a^3 \Omega_{\Lambda} }{\Omega_M}}\right)}{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda} }}$$

вы должны использовать численное интегрирование вместо символического при поиске точного решения, содержащего все$\Omega$с.

С$a=1/(z+1)$(зависит от красного смещения, а не масштабного коэффициента) ссылки на уравнения здесь: ned.ipac.caltech.edu/level5/Hogg/Hogg10.html и здесь: lcdm.yukterez.net

Да, это правда, так можно написать уравнение возраста Вселенной. . Но это уравнение не так часто используется, потому что член f не так прост.

Причина, по которой вы можете написать это таким образом, заключается в том, что оба 1/$\sqrt(\Lambda)$и 1/$H_0$имеют размеры времени, о$10^{18}$секунды

Вы можете получить число для текущей постоянной Хаббла и получить числовое значение f, но совсем не ясно, что это сильно помогает в размышлениях. на самом деле f также зависит от космологической постоянной.

Лучшее уравнение для определения возраста Вселенной:

$t_0$= Ф/$H_0$

Где знаменатель — текущая постоянная Хаббла. F (отличное от вашего f) равно 0,956 согласно текущей модели соответствия космологических параметров. Однако F тоже не такое простое уравнение. Но по крайней мере близко к 1. Обратная постоянная Хаббла составляет около 14,4 Гр, а возраст Вселенной около 13,8 Гр.

См. вики-статью по адресу https://en.m.wikipedia.org/wiki/Age_of_the_universe .

См. уравнения и значения для космологических параметров на https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lambda-CDM_model , где они используют числа для сотрудничества Планка (последние). Он также имеет уравнение для параметра Хаббла