Почему бесконечная, плоская, нерасширяющаяся Вселенная, заполненная однородным распределением материи, не является решением уравнения Эйнштейна?

Это довольно тонкий вопрос, который поставил в тупик даже Ньютона . Очень заманчиво думать, что изначально статическая ньютоновская Вселенная с совершенно однородной плотностью массы не схлопнется, потому что гравитационная сила везде компенсируется симметрией. Это не правильно.

Вот аналогичный вопрос: предположим, что функция$f$подчиняется

$$f''(x) = 1$$ и мы хотим решить для$f(x)$. Поскольку каждая точка на реальной линии такая же, как и любая другая точка, мы могли бы подумать, что в силу симметрии $$f(x) = \text{constant}.$$ Но это совершенно неправильно, потому что вторая производная константы равна нулю. И отступив назад, весь вопрос не имеет никакого смысла, потому что информации недостаточно. Чтобы решить общее дифференциальное уравнение, вам нужны граничные условия.

Одно из возможных граничных условий состоит в том, что решение выглядит примерно даже на бесконечности. Этого достаточно, чтобы указать решение везде, так как

$$f(x) = \frac{x^2}{2} + \text{constant}.$$ Но теперь трансляционная симметрия нарушена: не все точки больше эквивалентны, потому что у нас есть минимум в$x = 0$. Это неизбежно. Вы не можете решить дифференциальное уравнение без граничных условий, и любой выбор граничных условий нарушает симметрию .

Точно так же в бесконечной вселенной Ньютона мы имеем

$$\nabla^2 \phi = \rho$$ куда$\rho$- постоянная массовая плотность и$\phi$- гравитационный потенциал, соответствующий$f$в предыдущем примере. Как и в этом примере, мы «очевидно» имеем по симметрии $$\phi(x) = \text{constant}$$ что указывает на то, что сила везде обращается в нуль. Но это неправильно. Без граничных условий последующая эволюция не определена; это как просить решить для$x$учитывая только это$x$даже. При любом наборе граничных условий у вас будет точка, к которой все рушится. Итак, ответ на ваш вопрос заключается в том, что и ньютоновская, и релятивистская вселенные немедленно начинают коллапсировать; аргумент симметрии не работает ни в том, ни в другом, так что тут нечего объяснять.

---

Причина, по которой этот момент не упоминается в большинстве курсов, заключается в том, что мы часто предполагаем, что гравитационный потенциал стремится к нулю на бесконечности (в ньютоновской гравитации) или что метрика асимптотически плоская (в теории относительности). Но это граничное условие не работает, когда распределение масс также простирается до бесконечности, что и приводит к ловушке. Этот же момент может привести к неожиданностям в электростатике .

Выше мы рассуждали в терминах потенциалов. Несколько иной, но физически эквивалентный способ прийти к тому же выводу — напрямую использовать поля, интегрируя гравитационное поле каждой массы. В этом случае проблема в том, что поле в любой точке не определено четко, потому что интегралы не сходятся. Единственный способ обеспечить конвергенцию — это ввести «регулятор», который заставляет удаленные массы вносить меньший вклад по распоряжению. Но любой такой регулятор, эффективно заменяя бесконечное распределение конечным, вводит центр, к которому все схлопывается; как и граничные условия, любой регулятор нарушает симметрию. Итак, опять сразу начинается коллапс.

В конце концов, и ньютоновская, и релятивистская вселенные сразу начинают коллапсировать, и в обоих случаях этого можно предотвратить, добавив космологическую постоянную. В ньютоновском случае это просто тривиальное утверждение, что$\nabla^2 \phi = \rho - \Lambda$имеет постоянные решения для$\phi$когда$\rho = \Lambda$. Однако в обоих случаях решение неустойчиво: при внесении любых возмущений начнется коллапс.

Уравнение, определяющее кривизну пространства-времени в общей теории относительности, имеет вид

$$R_{\mu\nu} - \frac12Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$ Или, действительно, это$16$уравнения в одном:$\mu$и$\nu$оба могут принимать значения из$0$к$3$, представляющие четыре компонента любой заданной системы координат, и для каждого такого выбора вы получаете новое уравнение (с небольшой оговоркой, что оно симметрично в$\mu$и$\nu$, так что на самом деле это только$10$отдельные уравнения).

Символы$R_{\mu\nu}$,$R$,$g_{\mu\nu}$и$T_{\mu\nu}$— это так называемые тензоры , которые пока можно рассматривать как функции пространства-времени с действительными значениями. (Фактические значения, которые вы получите, будут зависеть от выбранной вами системы координат, но если вы зафиксируете одну систему координат для интересующего вас региона, они станут просто функциями.$R$является одной функцией, а остальные три, опять же, представляют собой наборы$16$функции: по одной на каждую$\mu, \nu$пара.)

Левая часть представляет кривизну пространства-времени. В плоском пространстве-времени имеем$R_{\mu\nu} = 0$для любой$\mu, \nu$, а также получаем$R = 0$, поэтому левая часть будет$0$.

Правая часть представляет собой одну большую константу, умноженную на$T_{\mu\nu}$, который представляет энергию в каждой точке пространства. В «разумной» системе координат (где$0$-компонент представляет время, а три оставшиеся координаты представляют пространство),$T_{00}$будет представлять плотность энергии (включая плотность массы; другие компоненты$T_{\mu\nu}$представляют такие вещи, как давление и плотность импульса). Если везде есть однородная ненулевая масса, то$T_{00}$будет ненулевым. Что означает, что$R_{00} -\frac12Rg_{00}$также будет ненулевым, что означает, что у нас нет плоского пространства-времени как$R_{00}$или же$R$должен быть ненулевым.

Чтобы в этом случае восстановить плоское пространство-время и позволить обоим$R_{\mu\nu}$и$R$чтобы быть равным нулю, необходимо добавить в левую часть третий член: космологическую постоянную$\Lambda$, давая нам

$$R_{\mu\nu} - \frac12Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

Хороший вопрос!

Вот возможное утверждение логики в ньютоновском случае. (1) В ньютоновской механике мы предполагаем, что инерциальные системы отсчета существуют (это один из популярных современных способов переформулировать первый закон Ньютона), мы предполагаем, что такие системы являются глобальными, и мы предполагаем, что мы всегда можем найти такую ​​систему отсчета, наблюдая за пробная частица, на которую не действует никакая сила. (2) В ньютоновской однородной космологии мы могли бы предположить, что сила, действующая на выбранную пробную частицу P, может быть найдена с помощью некоторого предельного процесса и что результат уникален. (В основном это фиктивное предположение, но я не думаю, что это становится проблемой здесь.) (3) Учитывая, что результат уникален, он должен быть равен нулю по симметрии. (4) Согласно предположениям 1 и 2, P определяет инерциальную систему отсчета, а согласно предположению 1 эту систему можно расширить, чтобы охватить всю вселенную.

В общей теории относительности предположение 1 не выполняется. Пробные частицы P и Q могут обе быть инерционными (т. е. на них не действуют негравитационные силы), но может быть ложным, что они не ускорены друг относительно друга. Например, мы можем построить космологию FRW, в которой в некоторый начальный момент времени$\dot{a}=0$, но тогда будет$\ddot{a}\ne0$(чтобы удовлетворить уравнениям поля Эйнштейна для однородной пыли). (В этой ситуации уравнения поля Эйнштейна могут быть сведены к уравнениям Фридмана, одно из которых$\ddot{a}/a=-(4\pi/3)\rho$.)

Это показывает, что ньютоновский аргумент (или по крайней мере одна его версия) не работает. Это не доказывает, что не существует другого полуньютоновского аргумента правдоподобия, объясняющего коллапс изначально статической Вселенной. Однако я не уверен, по каким критериям мы могли бы договориться о том, что представляет собой приемлемый аргумент полуньютоновского правдоподобия. Некоторые люди очень подробно разрабатывали эти полуньютоновские описания космологии, но мне кажется, что им не хватает каких-либо логических оснований, которые позволили бы отличить правильный аргумент от неправильного.

Ваш вопрос довольно глубокий, и другие ответы касаются сути того, «что на самом деле происходит», но я хотел просто сделать шаг назад и прояснить что-то простое, на что я не думаю, что кто-то еще прямо указал:

В ньютоновской гравитации бесконечный объем, заполненный однородным распределением массы, находился бы в идеальном равновесии. В каждой точке гравитационные силы, создаваемые массами в одном направлении, будут точно уравновешены силами в противоположном направлении.

Как указывали другие люди, это неверно по довольно тонким концептуальным причинам, связанным с природой предела бесконечного пространства. Но есть чрезвычайно простой способ математически понять, почему однородная массовая плотность$\rho$не может создать тождественно нулевое гравитационное поле${\bf g} \equiv {\bf 0}$: Закон Гаусса для гравитации гласит, что${\bf \nabla} \cdot {\bf g} = -4\pi G \rho$или эквивалентно$\iint_{\partial V} {\bf g} \cdot d{\bf A} = -4 \pi G\, M_\text{enclosed}$. Совершенно ясно, что${\bf g} \equiv {\bf 0},\ \rho =$(ненулевая константа) не удовлетворяет этим уравнениям.

С качественной точки зрения мне кажется, что все гравитационные напряжения, которые массы будут воздействовать на пространство-время, должны нейтрализоваться, а также что получающееся в результате плоское пространство-время не должно влиять на движение масс.

Я думаю, что здесь есть тонкое недоразумение.

В общей теории относительности во Вселенной, равномерно заполненной массой (или, на самом деле, энергией), все силы, действующие на массивный объект, компенсируются, как в ньютоновском случае. Это связано с симметриями однородной Вселенной.

Однако это не означает, что Вселенная плоская.

В ньютоновской механике силы, компенсирующие друг друга, подразумевают движение по прямой линии. Тогда интуитивно кажется, что объект определенно не может следовать по прямой линии в искривленном пространстве-времени. Но вот в чем загвоздка: в контексте общей теории относительности понятие прямой линии не имеет особого смысла.

Чтобы понять почему, мы должны спросить себя, что такое прямая линия. В ньютоновской механике это просто: это путь, по которому следует инерциальный объект, т. е. объект, на котором мы можем определить систему отсчета так, что этот объект в этой системе отсчета кажется статичным и на него не действуют никакие силы.

Однако принцип эквивалентности общей теории относительности говорит нам, что такая система отсчета фактически может быть определена для любого свободно падающего объекта (объекта, на который действуют только гравитационные силы). Траектории таких объектов называются геодезическими , и это лучшее, что мы можем сделать, чтобы расширить ньютоновское понятие прямой линии. Другими словами, в ОТО «прямолинейность» — это эффект системы отсчета.

Затем, что неудивительно, во Вселенной, где мы рассматриваем только гравитацию, все объекты следуют геодезическим и, таким образом, движутся по «обобщенным прямым линиям».

Все это указывает на то, что рассмотрение движения объектов не дает нам (насколько мне известно) никакой информации о структуре пространства и времени. К сожалению, этот ответ не объясняет необходимость расширения Вселенной, просто укажите, что ньютоновский аргумент ограничен. Причина в том, что, насколько я знаю, нет простого интуитивного объяснения причины расширения Вселенной.

В Principia Ньютон вводит теорему о железной сфере , в которой говорится, что можно игнорировать гравитационные эффекты сферически-симметричного распределения материи вне данной сферы. Это означает, что однородное распределение материи должно схлопываться в точку. Но здесь есть проблема: Ньютон мыслил в терминах абсолютного пространства, и поэтому нет причин, по которым оно должно сжиматься в одну точку, а не в другую.

Идея «уравновешивания» гравитации при равномерном распределении обсуждалась в переписке с Ричардом Бентли, который в значительной степени был членом религиозного истеблишмента. У меня сложилось впечатление, что Ньютон был рад показаться здесь любезным. Principia был в порядке, но он не хотел, чтобы Церковь слишком тщательно расследовала другие его работы. Аргумент «отмены» отодвигает проблему в бесконечность (так что это дает Богу что-то делать)

Однако это не было особенно удовлетворительным, и в 1759 году Роджер Боскович предложил силу отталкивания, чтобы удерживать материю в равновесии, по сути, раннюю версию космологической постоянной (позже она была разработана Уильямом Гершелем).

Однако для Эйнштейна невозможно было отодвинуть проблему в бесконечность, поскольку относительность должна быть локальной . Отсюда космологическая постоянная. (Но Э. А. Милн действительно использовал версию аргумента «отмены» для своей вселенной, которая расширялась, но не учитывала гравитацию в больших масштабах.)

Еще одна точка зрения: вопрос, по существу, заключается в том, почему решение соответствующего уравнения движения не имеет той же симметрии, что и ЭОМ. Это не уникальная особенность гравитации!

Симметрии EOM - это правила замыкания для множества решений, а не свойства отдельных решений; например, трансляционная инвариантность$f^{\prime\prime}=c$означает, что если$f(x)$это решение$f(x-a)$, не то$f(x)\equiv f(x-a)$. Как только граничные условия задают одно решение, ни условия, ни решение не сохраняют симметрию EOM; первое объясняет второе.

Это называется спонтанным нарушением симметрии. Конечно, этот термин обычно используется, когда лагранжиан комплексного скаляра инвариантен относительно фазовых сдвигов, но это историческая случайность, когда мы думали о поле Хиггса. Принцип общий . Вот гораздо более простое применение этого к гравитации, чем в OP: если вы держите ручку кончиком пальца, пока один конец балансирует на столе, когда вы отпускаете ручку, она падает в определенном направлении. Симметрия нарушена.