Как Галлей рассчитал расстояние до Солнца, измерив прохождение Венеры?

Метод Галлея требует измерения времени начала и окончания транзита; обе части данных должны быть измерены в двух точках земного шара, местоположение которых должно быть известно.

Рисунок Вермеера, Дакисмоктона, Илии показывает, что два места на Земле имеют разное расположение в двух разных направлениях (разница в расстоянии от Солнца и Венеры слишком мала, чтобы ее можно было измерить): одно из них параллельно направлению транзит Венеры и отразится на общем смещении времени; другая компонента поперечна ему и фактически сместит линию, по которой движется Венера и пересекает Солнце в направлении вверх/вниз, т.е. удлинит продолжительность транзита.

Каждого из этих фрагментов данных — общего сдвига во времени, возникающего из-за разницы в одной координате между двумя земными местоположениями, — и разницы между длиной прохождения — из-за другой координаты — в принципе достаточно для определения солнечного параллакса. Поскольку синхронизация часов в очень разных местах была затруднена столетия назад, я предполагаю, что последнее — разница между$\Delta t_1$а также$\Delta t_2$- вероятно, был более полезен исторически. Но мы говорим о разнице в O(10) минут в обоих количествах.

Расчет параллакса от$\Delta t_1$а также$\Delta t_2$и их различие - простое упражнение в геометрии, но я хочу избежать здесь тригонометрических функций.

Во всяком случае, Галлей не дожил до надлежащих измерений (переход происходит примерно два раза в столетие, и эти два события сливаются вместе с 8-летним перерывом между ними). Лучшее, что он смог получить, это 45 угловых секунд для параллакса; правильный ответ около 8,8 секунд. Он знал, что его результат был очень неточным. Обратите внимание, что солнечный параллакс — это угол, под которым радиус Земли виден от Солнца, т. е. разница в лучах, необходимых для наблюдения за Солнцем из центра Земли и/или точки на поверхности земного диска.

При переводе 8,8 угловых секунд в радианы, т.е. умножении на$1/3,600\times \pi/180$, Вы получаете$4.3\times 10^{-5}$. Теперь разделите 6378 км на это небольшое число, чтобы получить около 150 млн км для АС.

Некоторые порядковые оценки чисел. Венера вращается на расстоянии 0,7 а.е., поэтому во время транзита она на самом деле ближе к Земле, чем к Солнцу. Это означает, что смещение на 6000 км вверх/вниз со стороны Земли соответствует приблизительно 12000 км вверх/вниз со стороны Солнца. Таким образом, две горизонтальные линии, пересекающие Солнце на снимке (места на поверхности Солнца, где "проецируется" Венера), могут быть разделены примерно 12 000 км. Сравните это с радиусом Солнца около 700 000 км: вы можете видеть, что мы смещаем горизонтальные линии примерно на 1% радиуса Солнца и относительную разницу между$\Delta t_1$а также$\Delta t_2$тоже будет сопоставим с 1%. Последний переход в 2004 году занял около 6 часов, так что разница в продолжительности в разных местах порядка 10 минут.

Прохождение Венеры в 2012 году во вторник вечером по всемирному координированному времени также займет более 6 часов; время и продолжительность различаются примерно на 7 минут в зависимости от местоположения.

Если вы мечтали понаблюдать за прохождением Венеры, не забудьте о вторнике, 22:49 ночи UTC; следующие транзиты произойдут в 2117 и 2125 годах. Также есть версия этого ответа в блоге.

В этом посте подробно описаны этапы базового определения солнечного параллакса по прохождению Венеры. Ссылки:

1) Блаттер, "Venustransit 2004" (pdf) , который имеет хорошее происхождение

2) Транзит Венеры 2004 г. , который работает на простом гипотетическом примере, построенном на основе данных о транзите 2004 г.

Повсюду углы по-разному измеряются в радианах, градусах, угловых минутах и ​​угловых секундах, как удобно:

• 1 градус =$\pi$/180=0,0175 радиан = 60 угловых минут = 3600 угловых секунд.

Шаги (АН):

А) Наблюдения за транзитом производятся с далеко разнесенных точек на Земле. Ссылка 2 создает простой пример с использованием Каира (30° северной широты, 32° восточной долготы) и Дурбана (30° южной широты, 31° восточной долготы), которые образуют базовую линию с севера на юг.$0.917 R_E$, куда$R_E$радиус Земли 6371 км.

(Правовая оговорка: Предупреждение! Не пытайтесь делать это дома без защиты! Если смотреть прямо на солнце, это необратимо повредит глаза!)

Б) Определите угловое расстояние двух (почти перекрывающихся) транзитных треков (хорд на солнечном диске) по транзитным данным. Существуют различные методы, все в решающей степени зависящие от продолжительности транзита. В ссылке 1 используются конструкции прямоугольного треугольника, а в ссылке 2 используется включенный полуугол.$\theta$аккорда:

Исходя из этой геометрии, Reference 2 рассчитывает расстояние между дорожками.$\Delta \beta$(они называют это$D$, но я следую обозначениям ссылки 1).

куда:

• $\Delta \beta$угловое расстояние между дорожками в тех же единицах, что и$R-r$

• $R$составляет половину углового диаметра Солнца (31,5/2=15,75 угловых минут),

• $r$составляет половину углового диаметра Венеры (1/2 = 0,5 угловой минуты),

• $\theta = 46.62$степени за транзит 2004 года,

• средняя продолжительность транзита$T=19790.5$с (5,5 часов) и

• $\Delta T$разница во времени прохождения между двумя точками, 529 с, чуть менее 9 минут.

При этих параметрах разделение дорожек равно$\Delta \beta = 0.314$угловых минут (около 1/3 видимого диаметра Венеры), или 18,81 угловых секунд.

C) Это разделение дорожек$\Delta \beta$это не параллакс солнца$\alpha_s$, вместо этого это разница венерианского параллакса$\alpha_v$а также$\alpha_s$. Геометрия изображена на прекрасном рисунке 3.2 ссылки 1:

Из этой геометрии:

• Для треугольника ABV:$\alpha_v+(\epsilon_B+\beta_B)+(\epsilon_A-\beta_A)=180$градусов (или$\pi$радианы)

• Для треугольника АВО:$\alpha_s+\epsilon_B+\epsilon_A=180$

• Подставляя, находим$\alpha_v-\alpha_s=\beta_A-\beta_B=\Delta \beta$

D) Солнечные и венерианские параллаксы связаны их относительным расстоянием от Земли:

куда

• два параллакса$\alpha_s$а также$\alpha_v$теперь в радианах

• $b$базовая линия, установленная транзитными измерениями в точках A и B (Каир и Дюран в примере ссылки 2, с результирующим$b=0.917 R_E = 5,843$км).

• $d_{es}$,$d_{ev}$, а также$d_{vs}$- (неизвестные) расстояния от Земли до Солнца, от Земли до Венеры, от Венеры до Солнца соответственно.

Подставляя, получают$\alpha_s=(d_{es}/d_{vs}-1) \Delta \beta$(где сейчас$\alpha_s$в любых единицах$\Delta \beta$является)

Д) Третий закон Кеплера (квадраты периодов обращения пропорциональны кубам больших полуосей), позволяет определить$d_{vs}$с точки зрения$d_{es}$. Поскольку период обращения Венеры составляет 0,616 года,$d_{vs}/d_{es}=0.616^{2/3}=0.724$AU (астрономические единицы, 1AU = большая полуось Земли или номинальная$d_{es}$).

F) Наконец, подставляя в уравнение для$\alpha_s$на шаге D) дает$\alpha_s=$(1,015/0,724-1)(18,81)=7,56 угловых секунд. (Согласно ссылке 2, расстояние Земли от Солнца во время прохождения 2004 г. составляло 1,015 а.е.)

G) Стандартный солнечный параллакс$p_s$относится к базовой линии в 1 земной радиус по сравнению с базовой линией в 0,917 земного радиуса, используемой в гипотетических измерениях ссылки 2. Масштабируя, можно найти$p_s=\alpha_s$/0,917=8,37 угловых секунд.

Принятое значение солнечного параллакса составляет 8,79 угловых секунды, поэтому ошибка примера составляет около 5%.

H) Преобразование рассчитанного солнечного параллакса в радианы, 8,37 угловых секунды -> 40,58 микрорадиан, вычисляется$d_{es} =$1 AU = 6 371/40,58E-6 = 157,0 млн км, также ошибка 5% от принятого значения 149,5 млн км.