Как изменение КЕ одинаково во всех инерциальных системах отсчета?

В этой статье говорится, что изменение кинетической энергии (KE) остается постоянным во всех инерциальных системах отсчета.

...

Рассмотрим отца+сына, сидящих в движущемся поезде со скоростью$v_t$.
Через некоторое время сын встает и начинает бежать со скоростью$v_s$

Фрейм отца:
изменение КЭ сына =$\frac{1}{2}mv_s^2$

Кадр станции:
изменение KE сына =$\frac{1}{2}m(v_t+v_s)^2-\frac{1}{2}mv_t^2 =\frac{1}{2}mv_s^2 + \color{red}{mv_tv_s}$

Эти двое явно не одинаковы. Что не так в моем мышлении?

В вашем мышлении нет ничего плохого. Эти два значения различны.

Статья либо неверна, либо содержит предостережение о закрытой системе (по словам комментатора, в статье действительно есть такое предостережение).

Чтобы увидеть разницу с закрытой системой, рассмотрите тот же пример, но не допускайте внешних сил (отец и сын — единственные взаимодействующие массы в системе).

В примере с закрытой системой предположим, что отец и сын имеют одинаковую массу. В закрытой системе единственный способ, которым сын мог начать бежать, — это сила, приложенная отцом. Будет равная и противоположная сила на отца из-за сына. Это приводит к сохранению импульса. Сын будет двигаться со скоростью$v_s$и отец со скоростью$-v_s$(напомним, мы предполагали, что они имеют одинаковую массу, и далее предположим, что этот пример является одномерным).

Итак, у нас есть:

Кадр первый:

Изменение КЭ =$\frac{1}{2}mv_s^2 + \frac{1}{2}m(-v_s)^2 - (0 + 0) = m v_s^2$

Второй кадр:

Изменение КЭ =$\frac{1}{2}m(v_t+v_s)^2 + \frac{1}{2}m(v_t-v_s)^2 - (\frac{1}{2}mv_t^2 + \frac{1}{2}mv_t^2) = m {v_s}^2$

---

Хотя приведенный выше пример очень специфичен, результат имеет гораздо более общий характер (для любой закрытой системы).

В закрытой системе изменения импульса каждой массы могут происходить только за счет сил других масс. По третьему закону Ньютона всегда будут пары равных и противоположных сил, которые изменяют импульс, поэтому сумма всех сил равна нулю, и, следовательно, общий импульс$\mathbf P$сохраняется. Чтобы увидеть это более явно, рассмотрим общий импульс в Кадре 1:

$$\mathbf P = \sum_i m_i \mathbf{v}_i\;,$$ где сумма берется по всем массам системы.

Это количество ($\mathbf P$) сохраняется в замкнутой системе, потому что:

$$\frac{d\mathbf P}{dt} = \sum_i m_i \mathbf{a}_i = \sum_i \mathbf{F}_i = 0\;.$$ Обратите внимание, что если бы были какие-то внешние силы, то общий импульс системы не сохранялся бы, но внешних сил нет, так как это замкнутая система.

Чтобы увидеть более подробно, почему в приведенном выше уравнении выполняется окончательное равенство, вспомните, что$\mathbf{F}_i = \sum_j \mathbf{F}_{ij}\;,$где$\mathbf{F}_{ij}$означает «сила, действующая на массу i из-за массы j». Третий закон Ньютона гласит, что$\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}$. Поэтому:

$$\sum_i \mathbf{F}_i = \sum_{i,j} \mathbf{F}_{ij} = \sum_{i,j} \mathbf{F}_{ji} = -\sum_{i,j}\mathbf{F}_{ij} = -\sum_i \mathbf{F}_i\;,$$ где второе равенство связано с тем, что мы можем переименовать фиктивную переменную$i$к$j$и$j$к$i$, а третье равенство выполняется в силу 3-го закона Ньютона. Приведенное выше уравнение утверждает, что$\sum_i \mathbf{F}_i$равен отрицательному самому себе, что означает, что он равен нулю.

Полная кинетическая энергия в кадре 1 равна

$$KE_1 = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2$$

Общая кинетическая энергия в кадре 2 равна

$$KE_2 = \sum_i \frac{1}{2} m_i (\mathbf{v}_i + \mathbf{V})^2 = KE_1 + \mathbf{P}\cdot \mathbf{V} + \frac{1}{2}MV^2\;,$$ где$\mathbf V$- (постоянная) относительная скорость между инерциальными системами отсчета и где$M = \sum_i m_i$.

Потому что$\mathbf{P}$,$M$, и$\mathbf{V}$постоянны, то имеем:

$$\Delta KE_2 = \Delta KE_1 + 0 + 0 = \Delta KE_1$$

Поскольку теорема о работе-энергии выводится из второго закона движения Ньютона , она действительна в любой инерциальной системе отсчета . Однако наблюдатели в двух разных инерциальных системах отсчета могут не согласиться в значениях работы и кинетической энергии.

Пример: Человек начинает толкать тележку с массой.$m$с постоянной силой$F$за конечный период времени$\Delta t$, а тележка изначально покоилась в грунтовой раме . Чему равна работа и изменение кинетической энергии тележки после$\Delta t$?

Наземная система отсчета

Поскольку тележка изначально находится в состоянии покоя, если смотреть с нижней рамы.$v_0 = 0$, скорость и перемещение после$\Delta t$являются

$$\begin{aligned} v_1 &= v_0 + a \Delta t = a \Delta t\\ \Delta s &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_0 \Delta t = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \end{aligned}$$

где$a = F/m$является ускорение. Работа и изменение кинетической энергии равны

$$\begin{aligned} W &= F \cdot \Delta s = ma \cdot \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 \\ \Delta K &= \frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 \end{aligned}$$

Транспортное средство движется с постоянной скоростью$V$относительно земли

В этой (инерциальной) системе отсчета начальная скорость равна$v_0 = -V$, а скорость и перемещение после$\Delta t$являются

$$\begin{aligned} v_1' &= v_0' + a \Delta t = -V + a \Delta t \\ \Delta s' &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_0 \Delta t = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 - V \Delta t \end{aligned}$$

где$a = F/m$есть ускорение, равное ускорению в наземной системе отсчета. Работа и изменение кинетической энергии равны

$$\begin{aligned} W' &= F \cdot \Delta s' = ma \cdot (\frac{1}{2} a (\Delta t)^2 - V \Delta t) = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 - m V (a \Delta t) \\ \Delta K' &= \frac{1}{2} m v_1'^2 - \frac{1}{2} m v_0'^2 = \frac{1}{2} m (-V + a \Delta t)^2 - \frac{1}{2} m (-V)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 - m V (a \Delta t) \end{aligned}$$

Сравнение

Теорема о работе-энергии верна в обеих системах отсчета, т.е.$\Delta K = W$и$\Delta K' = W'$, но наблюдатели в двух разных (инерциальных) системах отсчета не согласны по абсолютным значениям работы и изменения кинетической энергии, т.е.$W \neq W'$и$\Delta K \neq \Delta K'$.

Хотя поезд намного массивнее сына, его масса не бесконечна. Когда сын разгоняется, сын работает над поездом, толкая его (и всех пассажиров, включая отца) чуть-чуть назад относительно изначально сопутствующей инерциальной системы отсчета. Другими словами, в кадре станции поезд немного замедляется, чтобы заплатить за ускорение сына.

Мы знаем, что изменение импульса сына равно$m_s v_s$. Импульс сохраняется, поэтому изменение импульса поезда должно быть равным и противоположным,$-m_s v_s$.

Масса сына намного меньше массы поезда, поэтому, когда мы решаем систему уравнений для обмена импульсом между сыном и поездом (которое мы можем смоделировать как упругое столкновение), мы обнаруживаем, что ускорение поезда достаточно мало, чтобы мы можно лечить$v_t$как примерно одно и то же значение до и после ускорения, если мы помним, что ускорение является реальным ненулевым значением. В частности, мы делаем предположение, что

$|(v_t + \Delta v_t)^2 - v_t^2| \gg |\Delta v_t|$

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти работу, проделанную сыном в поезде, измеренную наблюдателем на станции. Предполагая постоянные силы и используя знак минус, потому что сила действует в направлении, противоположном направлению изменения скорости сына:

$F = -m_s\Delta v_s / \Delta t = (m_s v_s)/\Delta t$

$\Delta s = v_t \Delta t$

$W = F \Delta s = -m_s v_s\Delta s/\Delta t = -m_s v_s v_t$

Дополнительный$m_s v_s v_t$Термин в кинетической энергии сына, измеренный наблюдателем на станции, представляет собой количество работы, которую сын выполнил в поезде, то есть количество, на которое кинетическая энергия поезда уменьшилась во время ускорения сына.

Таким образом, в системе отцов кинетическая энергия поезда начинается с 0 и заканчивается в 0, а кинетическая энергия сына увеличивается на$0.5 m_s v_s^2$, поэтому полная кинетическая энергия системы увеличилась на$0.5 m_s v_s^2$во время взаимодействия.

В кадре станции кинетическая энергия поезда начиналась с некоторого значения$0.5 m_t v_t ^2$и закончился в$0.5 m_t (v_t + \Delta v_t)^2 = 0.5 m_t v_t ^2 - m_s v_s v_t$, поэтому он изменился на$-m_s v_s v_t$. Кинетическая энергия сына увеличилась на$0.5 m_s v_s^2 + m_s v_s v_t$. Таким образом, полная кинетическая энергия системы увеличилась на$0.5 m_s v_s^2$во время взаимодействия.

Как сказал hft , правило применяется к закрытой системе. Вот способ понять, почему такая система имеет неизменное изменение кинетической энергии. Во-первых, кинетическая энергия$K$в любой системе отсчета связано с кинетической энергией$K_{\mathrm{in\ cm}}$в системе центра масс на

$$K = K_{\mathrm{in\ cm}} + \tfrac{1}{2}M|\mathbf{v}_{\mathrm{of\ cm}}|^2 = K_{\mathrm{in\ cm}} + \frac{|\mathbf{P}|^2}{2M},$$ где$M$это общая масса,$\mathbf{v}_{\mathrm{of\ cm}}$- скорость центра масс, а$\mathbf{P} = M\mathbf{v}_{\mathrm{of\ cm}}$это полный импульс. Поскольку полная масса и полный импульс сохраняются для замкнутой системы ($\Delta M = 0$и$\Delta\mathbf{P} = \mathbf{0}$), следует, что $$\Delta K = \Delta K_{\mathrm{in\ cm}}.$$ Это говорит о том, что изменение кинетической энергии одинаково в каждой инерциальной системе отсчета (равно изменению в системе с центром масс).

Изменение кинетической энергии меняется от кадра к кадру.

В вашем примере рассмотрим внешнюю силу, воздействующую на сына. Если сын не двигается в системе отцовской, работа равна 0, поэтому$\Delta K$равно 0. Но в системе координат станции эта сила привела к некоторому смещению ($v_t*\Delta t$).

Так как проделанная работа варьируется от кадра к кадру, по теореме о работе-энергии меняется и кинетическая энергия.