Кинетическая энергия "парадокс" - где я не прав? [дубликат]

Короче говоря: работа и изменение кинетической энергии являются величинами, зависящими от системы отсчета, хотя теорема о работе и энергии выполняется в обеих системах отсчета. Используя тот факт, что масса и сила являются величинами, не зависящими от системы отсчета, мы можем видеть, что дополнительное изменение кинетической энергии, наблюдаемое в неподвижной системе отсчета, связано с тем фактом, что наблюдатель в этой системе отсчета наблюдает силу, приложенную как действующую через большее расстояние , чем наблюдаемое в движущейся системе отсчета. Чтобы разрешить загадку «откуда лишняя энергия», заметим, что полное изменение энергии, наблюдаемое в неподвижной системе отсчета, имеет две составляющие, а «недостающая» энергия возникает за счет работы, которую совершает объект. необходимо сделать для того, чтобы поддерживать постоянную скорость.

Вот подробности:

---

Рассмотрим следующую ситуацию. Студент-физик стоит на тележке, движущейся с постоянной скоростью.$v$. Назовем эту систему отсчета$A$. Она бросает мяч вперед, прилагая силу$F$на некотором расстоянии, и конечная скорость мяча оказывается равной$v_{\textrm{A}}$в этой движущейся рамке. Ее партнер по лаборатории стоит неподвижно на земле (кадр B), наблюдая за этим процессом, и он видит, что конечная скорость мяча равна$v_{\textrm{B}}=v+v_{\textrm{A}}$. Если не учитывать факторы массы (поскольку масса является инвариантом Галилея), изменение кинетической энергии, наблюдаемое в системе отсчета A, равно

$$\Delta K_{\textrm{A}}=\frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2,$$ а изменение кинетической энергии, наблюдаемое в системе отсчета B, равно $$\Delta K_{\textrm{B}}=\frac{1}{2}(v+v_{\textrm{A}})^2-\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2 + vv_{\textrm{A}}>\frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2 = \Delta K_{\textrm{A}}.$$ Судя по всему, изменение кинетической энергии в кадре B больше, чем в кадре A, как наблюдал ОП!

Чтобы разгадать эту загадку, нам нужны две вещи. Во-первых, можно прямо доказать, что сила$F$сила, действующая на шар , также является инвариантом Галилея, поэтому оба наблюдателя видят одну и ту же силу, действующую на шар. Однако, поскольку первая ученица стоит на тележке, она видит себя воздействующей на мяч на некотором расстоянии.$d$, поэтому работа над шаром равна

$$W_{\textrm{A}} = Fd.$$ В кадре В расстояние, на которое действует сила, включает расстояние, пройденное тележкой за это время, т. е. $$W_{\textrm{B}} = F(d +v\Delta t),$$ предполагая, что бросок занимает некоторое время$\Delta t$.

Теорема об энергии работы верна в обеих этих системах отсчета, и мы можем видеть, что энергия, добавленная к мячу, наблюдаемая в системе B, больше, чем наблюдаемая в системе A! На самом деле, мы можем показать, что они равны.

Время, за которое мяч разгоняется до скорости$0$до скорости$v_{\textrm{A}}$на расстоянии$d$в кадре A определяется (опять же, без учета массы)

$$\Delta t = \frac{\Delta v_{\textrm{A}}}{a} = \frac{v_{\textrm{A}}}{F},$$ и поэтому, подставляя это в выражение для работы, проделанной в кадре B, мы получаем $$W_{\textrm{B}} = F(d +v\Delta t)= F\left(d +v\frac{v_{\textrm{A}}}{F}\right) = Fd + vv_{\textrm{A}}.$$ Мы можем видеть, что дополнительная работа, проделанная в кадре B, равна полученному дополнительному количеству энергии, наблюдаемому в кадре A, по сравнению с кадром B.

---

Теперь есть еще кое-что интуитивно понятное. Конечно, работа и изменения кинетической энергии зависят от кадра, но все равно кажется, что энергия теряется при переходе от одного кадра к другому. В чем смысл дополнительной энергии, наблюдаемой в одном кадре по сравнению с другим. В частности, в OP упоминается энергия, используемая батареями.

В кадре A представьте, что мяч бросает машина на батарейках. Он действительно должен только поставлять энергию, равную$v_{\textrm{A}}^2/2$для ускорения мяча в движущейся рамке! Так откуда же берется эта дополнительная энергия, как видно на кадре B? Это идет от тележки . Машина подачи отбрасывает тележку назад, потому что машина толкает тележку назад, чтобы толкнуть мяч вперед. Таким образом, тележка должна быть приведена в действие , чтобы оставаться на постоянной скорости во время броска. Сколько энергии требуется, чтобы поддерживать постоянную скорость?

Ради аргумента давайте представим, что качковая машина имеет нулевую массу. Тогда сила, действующая на тележку назад, равна силе, действующей на мяч вперед, в соответствии с 3-м законом Ньютона. Чтобы оставаться на постоянной скорости во время броска, тележка должна противодействовать этой силе, прилагая свою собственную силу назад к земле . Конечно, объем работы, выполненной в ходе этого процесса,$Fv\Delta t$, и мы уже показали, что это равно недостающему дополнительному количеству энергии .

Где моя ошибка?

Ваша ошибка в том, что вы пренебрегаете импульсом. Чтобы изменить скорость, вам нужен импульс, а также энергия. Итак, для ускорения ваш объект$A$должен взаимодействовать с каким-либо другим объектом.

Независимо от того, какой механизм вы используете, какая бы энергия ни казалась недостающей, если вы исследуете другой объект, тот, который$A$взаимодействует с, там вы найдете недостающую энергию.

Во второй движущейся системе отсчета эта батарея с силой сбрасывает 1 единицу энергии на расстояние. С точки зрения исходной системы, находящейся в состоянии покоя, батарея уже движется, и, следовательно, сила прилагается на большем расстоянии, учитывая несоответствие энергии.

Точно так же представьте, что 2-я батарея остается в состоянии покоя во 2-м кадре. Он прикладывает силу, для которой существует равная и противодействующая сила на время ускорения. Никакой работы по удержанию аккумулятора на месте не выполняется, потому что он не движется.

Но в исходном кадре он движется, так что статическая сила, удерживающая батарею заблокированной, теперь видится как динамическая сила, и дополнительная$W=\int Fdx$добавляется к конечной кинетической энергии.