Неверна ли формула неупругого столкновения?

Это действительно получается. Однако мы должны быть осторожны с тем, как мы определяем «с точки зрения объекта». Вы определяете разные кадры, и преобразования между кадрами могут изменить значения скоростей.

Ключевой вопрос заключается в том, что происходит с кадрами при столкновении. Если система отсчета продолжает двигаться по пути m1 или m2, то вы обнаружите, что скорости в двух системах отсчета эквивалентны. Однако, если вы остаетесь «с точки зрения объекта» и, таким образом, остаетесь с ним слитым, вы получаете ускоряющую систему отсчета. Они ведут себя очень по-разному и могут изменить значение скорости от ожидаемого значения.

Самая простая история — это если мы позволим кадрам двигаться вдоль пути объекта, если не произошло столкновения. Мы определим кадр f1 как кадр, следующий по исходной траектории объекта 1, а кадр f2 — как кадр, следующий по исходной траектории объекта 2. Таким образом, мы можем сказать$v_{1,f1}=0$и$v_{2,f2}=0$. Включение индексов в эти скорости важно, потому что это позволяет нам распутать проблему, которую вы видели.

Таким образом, теперь мы запишем ваши два уравнения как

$$m_1v_{1,f1} + m_2v_{2,f1} = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1v_{1,f2} + m_2v_{2,f2} = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Как вы заметили, объекты покоятся в кадре, который следует за их траекторией, так что это упрощает

$$m_2v_{2,f1} = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1v_{1,f2} = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Чтобы добраться до уравнений, которые вы написали, нам нужно ввести еще один кадр, f0. Это кадр, с которого вы начали свою первоначальную задачу, где движутся оба объекта. Мы можем сказать$v_{2,f1} = v_{2,f0} - v_{1, f0}$, показывая, что скорость в кадре f1 всегда равна скорости в кадре f0 за вычетом скорости объекта 1. Аналогично$v_{1,f2} = v_{1,f0} - v_{2, f0}$. Подключив их, мы, наконец, придем к уравнениям (1) и (2), с которых вы начали, но с небольшим количеством формализма, чтобы помочь распутать вещи.

$$m_2(v_{2,f0} - v_{1, f0}) = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1(v_{1,f0} - v_{2, f0}) = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Теперь вы заметите, что у меня здесь знак минус, когда у вас был плюс. Это, вероятно, большая часть путаницы. На самом деле вы решали проблему с кадром, который вылетел в направлении, противоположном объектам. Но все равно бы работало.

Более серьезная проблема заключается в том, что вы заметили, что мы не можем просто приравнять эти два уравнения.$v_{3,f1}$и$v_{3,f2}$две разные вещи. Они, конечно, связаны, но это не одно и то же. Они также не совсем противоположны.$v_{3,f1} \neq v_{3,f2}$если массы не равны. Однако мы можем вычесть два уравнения друг из друга.

$$m_2(v_{2,f0} - v_{1, f0}) - m_1(v_{1,f0} - v_{2, f0}) = (m_1+m_2)(v_{3,f1}- v_{3,f2})$$

$$(m_1+m_2)(v_{2,f0} - v_{1, f0}) - (m_1+m_2)(v_{3,f1}- v_{3,f2})$$ $$v_{2,f0} - v_{1, f0} = v_{3,f1}- v_{3,f2}$

Так к чему мы только что пришли? Разница между конечными комбинированными скоростями в f1 и f2 равна разнице между начальными скоростями в f0. Это интуитивно ожидаемо, так как разница между f1 и f2 действительно представляет собой сдвиг скоростей, учитывающий скорости обеих частиц.

Это своего рода отсутствие ответа говорит нам о чем-то важном: решение этой проблемы в разных рамках никак не изменило историю. Результаты будут соответствовать друг другу. Вы можете решить эту систему в любой системе отсчета, которая имеет для вас смысл, и результат будет тем же самым (после того, как вы преобразуете результаты обратно в конечную систему координат по вашему выбору).