Как кинетическая энергия может быть пропорциональна квадрату скорости, если скорость относительна?

Не читая остальной части вашего вопроса, я должен сначала ответить, что одно не имеет ничего общего с другим .

Кинетическая энергия зависит от системы отсчета, как и скорость .

Импульс пропорционален скорости и также зависит от системы отсчета, как и скорость .

Теперь, глядя на тело вашего вопроса:

Представьте, что вы и ваш партнер дрейфуете в космосе вместе с неизвестной скоростью.

Неизвестная скорость относительно чего ? Неизвестная скорость относительно Земли? Неизвестная скорость относительно Солнечной системы? Неизвестная скорость относительно CMB?

Предполагая космические корабли массой 100 кг, всегда ли 5 ​​кДж энергии будут давать относительную скорость 10 м/с?

Относительно чего ? Относительно начальной инерциальной системы отсчета до ускорения? Или относительно какой-то системы отсчета в произвольном относительном движении?

(Смысл всех этих вопросов в том, чтобы побудить вас более четко обдумать свой вопрос в надежде, что вы сами придете к ответу...)

Парадокс космического велосипеда

(также известный как « Шедоки отправляются в космос » или « Как ходить в космосе »)

Я думаю, что это милый вопрос. Хотя стиль немного неуклюж в отношении кадров и скорости, он представлен как интересный парадокс. В двух словах вопрос следующий (упрощение деталей):
если я управляю космическим кораблем, инвариантность инерциальной системы отсчета говорит мне, что я получаю такое же увеличение скорости для каждой новой единицы энергии, используемой для ускорения движения. Но если я еду на Земле на велосипеде, я получаю меньший прирост скорости на каждую новую единицу энергии, потраченную на ускорение. Почему он другой?

Конечно, детали имеют значение, и где- то должна быть ошибка , которую мы идентифицируем, анализируя детали примеров. Плакат, очевидно, осознает, что это заблуждение, но с трудом распутывает его в контексте, в котором оно заявлено.

Хотя это, возможно, может быть истолковано как таковое, я не согласен с мнением, что этот вопрос чисто рамочный. Парадокс в гораздо большей степени связан с проблемой сохранения импульса, вероятно, возникающей из-за педагогической проблемы, поскольку импульс часто игнорируется в упражнениях без столкновений, проводимых на поверхности Земли.

Как правило, в проблемах, происходящих на Земле, мы склонны забывать о Земле. Но это есть. К счастью !

Высокая скорость тяжела для велосипеда (почему?)

Вопрос касается двух велосипедов A и B, каждый из которых сначала ускоряется с заданным количеством энергии, а затем A снова ускоряется с той же энергией. Но А не удваивает свою скорость, он только умножает ее на$\sqrt{2}$. Следовательно, увеличение его скорости по отношению к B составляет всего лишь около 0,414 от его первого увеличения скорости от неподвижности на земле.

Давайте проанализируем случай с велосипедами. Это все линейно, поэтому я забываю о векторах. И мы просто делаем в основном качественный анализ, чтобы понять, что происходит. Остальное просто применение формул. Предположу, чтобы грубо упростить дело, что локальная поверхность Земли является инерциальной системой отсчета для малой длительности эксперимента (это часто используемое приближение). Итак , мы берем местную землю в качестве инерциальной системы отсчета для первого анализа.

Предположим, что первое ускорение от$v_0=0$м/с до$v_1=10$м/с использовали силу$F$применяется на расстоянии$d$в течение времени$t_1$. Каждый велосипед набирал обороты$Ft_1$и кинетическая энергия$K=Fd$по отношению к их исходному кадру: земля земля.

Теперь велосипед А снова разгоняется с тем же количеством энергии. Это можно сделать, применив ту же силу$F$на том же расстоянии$d$на поверхности Земли. Поскольку у него уже есть скорость, расстояние$d$будет покрыто в более короткие сроки$t_2$. Так что это ускорение даст ему меньший импульс$Ft_2$, чем первый, что объясняет, что прирост скорости будет меньше.

Но если мы проведем тот же анализ в отношении велосипеда-напарника B , все будет по-другому. Пока А ускоряется во второй раз, напарник Б движется и фактически преодолевает расстояние.$v_1 t_2$. Таким образом, расстояние, пройденное A относительно B во время второго ускорения, равно только$d-v_1 t_2$. Следовательно, энергия, затраченная на ускорение, с точки зрения (системы отсчета) B равна$K_B=F(d-v_1 t_2)$что явно меньше$K=Fd$.

Но вы «знаете», что потратили энергию$K$, и часть этого исчезла с точки зрения B. Куда ушла энергия? Что ж, с точки зрения Б, он на самом деле не движется: мы все неподвижны по отношению к самим себе. Когда А двигался по инерции, он также был неподвижен по отношению к В, пока снова не разогнался. Это Земля двигалась под двумя велосипедами со скоростью$v_1$, в обратном направлении.

Когда А разгонялся, он прикладывал к земле толкающую силу, чтобы двигаться вперед, которая уравновешивалась силой трения (реакции) земли. Это сила реакции, которая совершает работу по ускорению A на некотором расстоянии. В кадре Земля. Земля не движется, поэтому никакая сила, приложенная к Земле, не совершает никакой работы. Но в кадре друга B Земля на самом деле движется назад. Сила трения ускорения A увеличивает импульс A, и это увеличение нужно где-то украсть (суммарный импульс не меняется). Значит, оно должно исходить от Земли, т.е. от изменения скорости поверхности Земли (не волнуйтесь, это не вызовет землетрясений, как показывают ответы на несколько вопросов на этом сайте). Недостающая часть энергии была использована для ускорения движения Земли относительно B.

Высокая скорость — это легко в космосе (не так ли?)

Перенесение той же проблемы в космос, насколько это имеет смысл (вы поймете почему), может прояснить некоторые вопросы. Но это действительно совсем другое.

Единственный способ ускориться — обменяться импульсом с другой массой. Помимо прямого использования полей естественных сил (таких как гравитация), обычный способ сделать это - выпустить реактивную массу на скорости из ракетного двигателя. Вы бросаете массу в одну сторону, а вас толкает в другую сторону с изменением обратного импульса. Поскольку вы несете массу, хитрость часто заключается в том, чтобы увеличить исчерпанный импульс, используя высокую скорость с небольшими массами , чтобы вы не слишком быстро потеряли массу (если вы не топ-модель).

У вас может быть экранный циферблат, показывающий, сколько энергии вы потратили. Но это имеет ограниченное применение, потому что оно не скажет вам, на что вы его потратили, так как вы ускоряете и свой корабль, и истощенную реактивную массу. Перераспределение энергии контролируется сохранением импульса, так что в исходной инерциальной системе отсчета мы имеем (как известно):

• сохранение импульса:$m_c v_c+m_r v_r=0$

• кинетическая энергия :$1/2(m_c v_c^2+m_r v_r^2)= W$

где индексы$c$а также$r$- соответственно аппарат и отработанная реакционная масса, W - затраченная энергия. Обратите внимание, что первоначально масса корабля$m_c+m_r$поскольку корабль несет реактивную массу, которая должна быть истощена.

Если вы проанализируете его из другой инерциальной системы отсчета B, идущей изначально со скоростью$v$относительно корабля), вы обнаружите, что изменение кинетической энергии снова$W$, хотя полная кинетическая энергия включает еще один член$(m_s+m_r)v^2/2$что является начальной кинетической энергией корабля в инерциальной системе отсчета B.

Теперь мы можем ответить на первый вопрос:

Всегда ли 5 ​​кДж энергии будут давать относительную скорость 10 м/с, если предположить, что космические корабли весят 100 кг?

Ответ почти да (в классической механике), при условии , что все остальные вещи на борту остаются неизменными. Что верно, так это то, что корабль всегда будет набирать одну и ту же скорость по отношению к своей предыдущей инерциальной системе отсчета, при условии, что он тратит свою энергию одинаковым образом. Для чего еще нужны инерциальные системы?$\,$?

Однако величина этой скорости будет меньше 10 м/с, потому что затраченная энергия должна быть разделена в виде кинетической энергии между космическим кораблем и израсходованной реакционной массой. Соотношение обмена остается открытым с данными, представленными здесь, и поэтому скорость увеличивается.

Поскольку все инерциальные системы отсчета имеют постоянную скорость по отношению друг к другу и поскольку в классической механике скорости складываются векторно, я думаю, все это остается верным для всех инерциальных систем отсчета.

Но, как я уже сказал, это верно, если все остальные условия на борту остаются равными. Мы предположили, что каким-то образом масса корабля поддерживается постоянной (масса поддерживается за счет переноса с другого корабля: пространственная дозаправка?). Другая вещь, которую необходимо оставить неизменной, — это отношение перераспределения энергии между ускорением корабля и ускорением исчерпанной массы, измеренное в инерциальной системе отсчета корабля непосредственно перед ускорением. Конечно, эта инерциальная система отсчета меняется при каждом ускорении.

Фактически энергия распределяется пропорционально соответствующим скоростям корабля и отработанной реактивной массе в инерциальной системе корабля до разгона. Если умножить на$v_c v_r/2$по формуле сохранения импульса получаем$K_c v_r + K_r v_c =0$, куда$K_c$а также$K_r$являются кинетические энергии. Это следует из того$K_c/K_r=-v_c/v_r=m_r/m_c$, последнее равенство следует непосредственно из формулы сохранения импульса.

Если смотреть с корабля, распределение энергии контролируется путем управления скоростью выхлопа (или израсходованной реактивной массой). Таким образом, если предположить, что изменение массы незначительно, ответ на вопрос - да, для 5 кДж энергии скорость всегда будет увеличиваться на одну и ту же величину, хотя по величине она меньше 10 м/с, при условии, что скорость выхлопа не изменяется. Это скорость, а не скорость, поскольку корабль может изменить свою ориентацию.

Назад на Землю

Это приводит ко второму вопросу:

Если 5 кДж всегда производит 10 м/с, почему вторые 5 кДж производят только 4,1 м/с?

Что ж, это было верно для велосипеда, и, как намекали ранее, ситуация немного отличается, потому что реакционная масса — это сама Земля.

Когда велосипед изначально покоится в системе отсчета Земли, это было так, как если бы Земля была реакционной массой, которую несет велосипед (разве вы не сильны?). Когда велосипед ускоряется, толкая Землю, масса планеты такова, что она по существу не движется в своей начальной системе отсчета, в то время как велосипед движется, хотя и медленно. Итак, если мы рассмотрим приведенную выше формулу коэффициента разделения энергии, коэффициент скорости$v_c/v_r$практически бесконечен, потому что$v_r$является квазинулем. То же самое верно и для соотношения энергий$K_c/K_r$, так что вся энергия идет на велосипед, а не на планету. И именно поэтому велосипед разгоняется до 10 м/с, превращая всю энергию в кинетическую энергию.

Но иная ситуация для второго ускорения. В случае космического корабля он несет реактивную массу со своей собственной скоростью. Но в случае с велосипедом второе ускорение получается за счет толкания реактивной массы, движущейся относительно велосипеда. Это похоже на астронавта в космосе, который обгоняет большой камень и на ходу толкает его ногой, чтобы набрать большую скорость, а не на корабль, выбрасывающий массу, которую он несет в своей инерциальной системе отсчета.

Затем можно провести анализ в кадре скалы, который аналогичен нашему анализу в кадре Земли, или в исходном кадре космонавта, который аналогичен анализу в кадре велосипеда-напарника B.

В качестве временного вывода: есть еще космические корабли, использующие технику « пинок на ходу» для ускорения. Они все еще являются научной фантастикой, но их серьезно рассматривают. Это космические корабли с прямоточным воздушно -реактивным двигателем , и они работают как самолеты с прямоточным воздушно-реактивным двигателем, с теми же ограничениями по минимальной скорости, но используя космическую пыль и газ вместо воздуха в качестве ускоряемой реактивной массы. « Более продвинутая версия », ПВРД Bussard , также должна собирать энергию из окружающего пространства, но это уже другая история.

Обратите внимание, что здесь «горелки» создают ускорение, выбрасывая быстро движущуюся массу. Сохранение импульса приводит к тому, что корабль движется быстрее. Оба наблюдателя будут измерять одинаковое изменение скорости.

Однако кто-то в «стационарной» системе отсчета (или любой другой системе отсчета с другой скоростью) измерит то же изменение скорости, но другое изменение энергии. Скорость, энергия и импульс относительны, но для инерциальных систем отсчета скорость и импульс линейны (поэтому мы можем добавить или вычесть константу для данного преобразования), а энергия квадратична.

Предполагая космические корабли массой 100 кг, всегда ли 5 ​​кДж энергии будут давать относительную скорость 10 м/с?

В этом случае, когда начальная относительная скорость равна 0, да. Но не в целом, потому что если они начинают с другого

И импульс, и скорость должны относиться к одному и тому же. Другими словами, если два велосипедиста движутся с одинаковой скоростью, импульс одного велосипедиста относительно другого равен нулю. Если бы они врезались друг в друга, двигаясь с одинаковой скоростью, ничего бы не произошло.

Что касается формулы, вы не можете сказать, что$5KJ$производит$10m/s$а потом еще$5KJ$ $4.14 m/s$. Формула не является ассоциативной.

Чтобы сначала ответить на ваш последний вопрос - энергия зависит от квадрата скорости, а не от самой скорости.

$$E \propto v^2$$ или же $$v \propto \sqrt{E}$$

Это означает, что когда вы удваиваете скорость, вы в четыре раза увеличиваете потребление энергии. Для примера, который вы привели, чтобы получить скорость$20$ $m/s$вам придется отдать энергию$20$ $kJ$. Итак, ясно, что когда вы удваиваете подводимую энергию, вы увидите только увеличение скорости, пропорциональное$\sqrt 2$, и в вашем случае это$1.414 * 10 = 14.14$, это именно то, что вы получили.

Надеюсь, это прояснит часть вашей путаницы. Чтобы ответить на ваш заглавный вопрос: как уже указывалось в других ответах, и импульс, и скорость относительны. В специальной теории относительности импульс преобразуется как

$$p = \gamma mv$$ куда $v$- скорость тела в одной системе отсчета, а $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$$ куда $u$- относительная скорость между двумя системами отсчета. Поэтому, когда один наблюдатель измеряет другую скорость из-за своей системы отсчета, он также измеряет другую кинетическую энергию.

Хорошо, чтобы понять это более интуитивно, давайте посчитаем следующий пример. У нас 3 ракеты по 100 кг бок о бок парят в космосе. Ракета 1 и ракета 2 имеют одинаковую скорость, а ракета 3 имеет скорость$v_{int}$отличается от ракеты 1 и 2. когда мы вызываем ракету 1, наш наблюдатель и где она пытается довести ракету 2 до той же скорости, что и ракета 3

В космосе нельзя говорить об ускорении без сжигания какой-то массы или/и перехода к теории относительности. поэтому, чтобы остаться в классическом режиме, мне придется ввести ракетное уравнение

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_{init}} {m_{final}}$$ куда $v_e$это эффективная скорость выбрасываемой массы. А также $\Delta v$изменение скорости ракеты. А также $m_{init}$, $m_{final}$масса до и после так называемого ожога. Скорость выхлопа $V_e$в системе наблюдения связано со скоростью выхлопа в системе координат ракеты $v_e$на (поскольку скорость истечения в отрицательном направлении) $$V_e=V_{rocket}-v_e$$

теперь допустим у ракеты 2 такой двигатель, что если она выбрасывает 1 кг топлива ($\Delta m$) он будет достигать скорости$V$равно ракете 3. так что

$$\Delta v = V - 0 = v_e \ln\frac{100}{99}\approx0.01 v_e$$ поэтому наш теоретический двигатель имеет $v_e$из 100. Что говорит нам о том, что есть облако пыли или топлива, движущееся в другом направлении со скоростью $100V$теперь мы проверяем кинетическую энергию, используемую для достижения этой скорости. $$E_2 = \frac{1}{2} \left[ m_{final} * V_{final}^2 + \Delta m*(V_e)^2\right] \\=\frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 1*(100V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} \left[ 99 * V^2 + 10000*V)^2\right] \\ = \frac{1}{2} 100 99 * V^2$$ Где я добавил кинетическую энергию выброшенной массы плюс конечную кинетическую энергию ракеты. Вы можете ясно видеть, что количество химической энергии, преобразованной в кинетическую энергию, сильно зависит от вашего выбора. $\Delta m$. Итак, это в космосе, где мы выбросили очень небольшое количество нашей массы, и в результате нам нужно очень большое количество энергии (по сравнению с нашей конечной кинетической энергией), чтобы достичь нашей целевой скорости.

Но тогда почему выброс массы не имеет значения для велосипеда? Причина этого в том, что на Земле выбрасываемая масса очень и очень велика. в основном ваше выбрасывание они заземляют себя так$v_e$становится все меньше и меньше дополнительный член$\Delta m v_e^2$становится все меньше и меньше. это связано с тем, что$v_e$квадраты и$m$является только линейным.

поэтому, когда вы спрашиваете, будет ли он всегда производить дельту v 10 м / с, они отвечают, что это зависит. вы все еще двигаетесь с тем же отношением масс, потому что это наиболее важно в ракетной механике.

Кинетическая энергия зависит от кадра.

Причина очень проста: кинетическая энергия — это разница между Mc^2 (не знаю, как здесь написать квадрат) и энергией покоя M0c^2. M зависит от v, которое зависит от системы отсчета, поэтому кинетическая энергия obv зависит от системы отсчета.

Примечание. Я пытался дать вам логическое объяснение, кроме того, что E=1/2mv^2