При каноническом квантовании электромагнитного поля в калибровке Лоренца равновременный коммутатор записывается как:
[Амю(Икс⃗ , т ) ,πν(у⃗ , т ) ] = ягмк νдельта3(Икс⃗ −у⃗ ) .(1)
Это немного сбивает меня с толку.
Лагранжиан свободного ЭМ поля равен
лЕМ= -14Фмк νФмк ν.(2)
Таким образом, канонический импульс равен:
πν"="∂л∂А˙ν= -Ф0 ν= -∂0Аν+∂νА0.(3)
Итак, если мы напишемАмю
поле в разложениях по моде Фурье, это:
Амю( х ) знак равно ∫г3п⃗ ( 2 π)312 |п⃗ −−−√|∑λ = 03ϵλмю{аλп⃗ е− я п х+аλ †п⃗ ея п х} .(4)
По определению канонического импульса его модовое разложение должно быть
πмю( Икс ) знак равно я ∫г3п⃗ ( 2 π)3|п⃗ |2−−−√∑λ = 03ϵλмю{аλп⃗ е− я п х−аλ †п⃗ ея п х} - я ∫г3п⃗ ( 2 π)3пмю2 |п⃗ −−−√|∑λ = 03ϵλ0{аλп⃗ е− я п х−аλ †п⃗ ея п х} ,(5)
где только первый член
πмю( х )
соответствует коммутационному соотношению. Является ли коммутационное соотношение неверным или мой канонический импульс неверен?