Как мы можем найти плотность фазового пространства из гамильтониана?

Обычно мы НЕ рассчитываем плотность фазового пространства системы. В формулировке классической статистической механики фазового пространства плотность фазового пространства$\rho(p,q;t)$имеет заданный вид для разных ансамблей. Обычно для систем, находящихся в равновесии, плотность$\rho$не имеет явной зависимости от времени, поэтому мы работаем с$\rho(p,q)$.

(1) Для микроканонического ансамбля энергия системы фиксирована и согласно «равной априорной вероятности» каждое микросостояние равновероятно, поэтому$\rho=constant$во всей соответствующей области фазового пространства. Точное значение этой константы не важно, так как в статистической механике все, что нас волнует относительный шанс или вероятности, вы всегда можете нормализовать его в конце. Точнее, для среднего значения некоторой физической величины$f(p,q)$, у нас есть

$$<f>=\frac{\int dqdp f(p,q)\rho}{\int dqdp \rho}=\frac{\int dqdp f(p,q)}{\int dqdp},$$ с $\rho$в этом случае постоянна.

(2) Для канонического ансамбля, который может вас больше заинтересовать, плотность$\rho(p,q)$больше не является однородным, вместо этого мы имеем

$$\rho(p,q)\propto exp(-H(p,q)/kT),$$ что просто означает, что чем выше энергия, тем меньше вероятность того, что уровень будет занят. Это обычный коэффициент Больцмана, который согласуется со стандартными термодинамическими результатами. Затем для разных систем вам просто нужно ввести соответствующие гамильтонианы. Опять же, константа пропорциональности впереди не важна, она все равно будет аннулирована, когда мы будем выполнять расчет среднего значения.

Подводя итог, плотность фазового пространства просто характеризует относительную плотность вероятности для классических состояний, помеченных как$(p,q)$с гамильтонианом$H(p,q)$быть занятым. Но у нас уже есть плотность вероятности из стандартной термодинамики, которую можно напрямую использовать в подходе фазового пространства.