Помогите найти уравнения движения из гамильтониана с интегралом движения

Я хочу упрощения, поэтому я возьму$\omega_0 = 1$. Вы можете масштабировать$x$и всегда получать такое упрощение, если$\omega_0$является константой. Тогда гамильтониан становится

$$H(x,p) = \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} + \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right)^2 \, .$$

Уравнения Гамильтона имеют вид

$$\begin{align} \begin{cases} \dot{q} &= p + 2 \lambda p \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \\ \dot{p} &= -q - 2 \lambda q \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dot{q} &= p \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right] \\ \dot{p} &= -q \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right] \end{cases} \, . \end{align}$$

Предполагая$q, \dot{p} \neq 0$, разделите одно уравнение на другое, чтобы получить

$$\frac{ \left( \frac{dq}{dt} \right)}{ \left(\frac{dp}{dt} \right)} = \frac{p \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right]}{-q \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right]} = -\frac{p}{q} \, .$$

Таким образом, решение будет таким же, как и для SHO, за исключением того, что новая частота будет увеличиваться по мере удаления орбиты от начала координат.

Поскольку я считаю, что это домашнее задание, я не буду вдаваться в подробности. Проблема в принципе решена.