Короткий ответ

Я не понимаю, почему в последнем уравнении используется обобщенный импульс вместо обычного импульса.

Общий импульс$\vec P$используется, потому что уравнения движения Гамильтона связывают производную по времени обобщенного импульса$d \vec P/dt$-- не производная по времени от кинетического импульса$d \vec p/dt$-- к отрицательным частным производным гамильтониана по обобщенному положению$-\partial H/\partial \vec r$.

И мне непонятно, почему последний член в этом уравнении$e\left( {\vec v\frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}} - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}}\vec v} \right)$не ноль и что${\frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}}}$означает? Если${\vec A}$был скаляром, это было бы просто значение градиента, но меня смущает векторная величина

Правильный. Если$\vec A$вместо этого были скалярным полем, этот термин обозначал бы градиент скалярного поля. Оказывается, что мы можем применять понятие градиента не только к скалярам, ​​но и к векторам и, в более общем смысле, к тензорам — классу геометрических объектов, к которым относятся скаляры, или тензоры нулевого порядка, и векторы, или тензоры первого порядка. , принадлежать. Поскольку градиент тензора нулевого порядка дает тензор первого порядка, вы можете предположить, что градиент тензора первого порядка дает тензор второго порядка, геометрический объект, который может быть представлен с помощью$n \times n$матрица; вы были бы правы, и хотя в выбранных вами обозначениях это не так ясно, тот факт, что$\partial \vec A/\partial \vec r$-- градиент векторного поля$\vec A$-- является тензором второго порядка, именно поэтому$\vec v (\partial \vec A/\partial \vec r) - (\partial \vec A/\partial \vec r)\vec v \neq 0$.

На самом деле, просто проверив, вы должны быть в состоянии, по крайней мере, убедиться, что, поскольку

$$- e\frac{\partial \vec A}{\partial t} - e\frac{\partial \phi}{\partial \vec r} = e \left(-\frac{\partial \vec A}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial \vec r}\right) = e \vec E$$

должно быть так$\vec v (\partial \vec A/\partial \vec r) - (\partial \vec A/\partial \vec r)\vec v = \vec v \times \vec B$, так как правая часть уравнения для$d \vec p/dt$должно дать правильное выражение для силы Лоренца.

Длинный ответ

Теперь давайте докажем наше убеждение.

Тензоры в$\mathbb R^3$

Рассмотрим векторный базис$\{\mathbf e_i\}$, где индекс$i$находится в диапазоне от 1 до 3, и для простоты предположим, что этот векторный базис является евклидовым; другими словами, внутренний продукт базисных векторов$\mathbf e_i$и$\mathbf e_j$дает,

$$\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = \delta_{ij} \tag{1}$$

где

$$\left(\delta_{ij}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \tag{2}$$

является единичной матрицей.

Вектор$\mathbf f$может быть выражено в этой основе координат как,

$$\mathbf f = \sum_{i=1}^3 f_i\, \mathbf e_i = \left(\begin{matrix} f_1 & f_2 & f_3 \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i\}} \tag{3}$$

а тензор второго порядка$\mathbf F$может быть выражено как,

$$\mathbf F = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ij}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j = \left(\begin{matrix} F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j\}} \tag{4}$$

где$\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j$называется внешним произведением$\mathbf e_i$и$\mathbf e_j$. Внешний продукт определяется таким образом, что для заданных векторов$\mathbf a$,$\mathbf b$,$\mathbf c$, и$\mathbf d$,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot (\mathbf c \otimes \mathbf d) = (\mathbf b \cdot \mathbf c)(\mathbf a \otimes \mathbf d) \tag{5}$$

или, что то же самое,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot \mathbf c = (\mathbf b \cdot \mathbf c)\mathbf a$$ $$\mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b) = (\mathbf c \cdot \mathbf a)\mathbf b \tag{6}$$

Транспонирование$\mathbf a \otimes \mathbf b$, обозначаемый как$(\mathbf a \otimes \mathbf b)^T$, определяется как,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b)^T = \mathbf b \otimes \mathbf a \tag{7}$$

и поэтому (6) можно переписать как

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b)^T = (\mathbf b \cdot \mathbf c)\mathbf a$$ $$\mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b) = (\mathbf a \otimes \mathbf b)^T \cdot \mathbf c = (\mathbf c \cdot \mathbf a)\mathbf b \tag{8}$$

Кроме того, применяя (7) к (4), транспонирование$\mathbf F$, обозначенный$\mathbf F^T$, является,

$$\mathbf F^T = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ij}\, \mathbf e_j \otimes \mathbf e_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ji}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j = \left(\begin{matrix} F_{11} & F_{21} & F_{31} \\ F_{12} & F_{22} & F_{32} \\ F_{13} & F_{23} & F_{33} \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j\}} \tag{9}$$

Если тензор второго порядка$\mathbf F^T = \mathbf F$, затем$\mathbf F$называется симметричным ; если$\mathbf F^T = -\mathbf F$, затем$\mathbf F$называется антисимметричным .

Тензор третьего порядка$\mathbf \Phi$может быть выражено как,

$$\mathbf \Phi = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \Phi_{ijk}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \otimes \mathbf e_k \tag{10}$$

Один часто встречающийся тензор третьего порядка, известный как знакопеременный тензор , обозначается как$\mathbf \epsilon$, определяется как,

$$\mathbf \epsilon = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \otimes \mathbf e_k \tag{11}$$

такой, что$\mathbf \epsilon$антисимметричен относительно замены любых двух индексов (например,$\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ijk}$) и$\epsilon_{123} = 1$. Обратите внимание, что это означает, что любой компонент$\epsilon_{ijk}$который имеет два или более индексов, установленных на одно и то же значение, равен нулю (например,$\epsilon_{112} = 0$).

Обычной практикой во многих публикациях является опускание символов суммирования, встречающихся в выражениях для тензоров, приведенных выше; это известно как соглашение о суммировании Эйнштейна , и это соглашение будет использоваться с этого момента. Правила суммирования по Эйнштейну следующие:

1. В термине, который включает только произведение компонент тензора, если индекс$i$появляется только один раз в термине, затем$i$называется свободным индексом , и суммирование по этому индексу не подразумевается.
2. В термине, который включает только произведение компонент тензора, если индекс$i$появляется дважды в термине, то$i$называется индексом суммирования , и подразумевается суммирование по этому индексу.
3. Для любого индекса$i$, вы можете обозначить его, используя любую другую букву, которая еще не используется в качестве индекса в том же термине.
4. Во избежание двусмысленности ни один индекс не может появляться более двух раз в одном и том же термине.

Соответствующие тензорные операции

Скалярное произведение двух векторов$\mathbf a$и$\mathbf b$, обозначенный$\mathbf a \cdot \mathbf b$, дан кем-то,

$$\mathbf a \cdot \mathbf b = a_i b_j\, \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = a_i b_j \delta_{ij} = a_i b_i \tag{12}$$

Точно так же внутренний продукт для вектора$\mathbf a$и тензор второго порядка$\mathbf B$дан кем-то,

$$(\mathbf B \cdot \mathbf a)_i = B_{ij} \delta_{jk} a_k = B_{ij}a_j$$ $$(\mathbf a \cdot \mathbf B)_i = a_k \delta_{kj} B_{ji} = B_{ji}a_j \tag{13}$$

где$(\mathbf B \cdot \mathbf a)_i$и$(\mathbf a \cdot \mathbf B)_i$являются, соответственно,$i$-е компоненты векторов$\mathbf B \cdot \mathbf a$и$\mathbf a \cdot \mathbf B$.

Векторное произведение двух векторов$\mathbf a$и$\mathbf b$, обозначенный$\mathbf a \times \mathbf b$, дан кем-то,

$$(\mathbf a \times \mathbf b)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \tag{14}$$

где$(\mathbf a \times \mathbf b)_i$это$i$-й компонент$\mathbf a \times \mathbf b$. Точно так же ротор вектора$\mathbf a$дан кем-то,

$$(\nabla \times \mathbf a)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial a_k}{\partial x_j} \tag{15}$$

где$x_j$это$j$-я компонента вектора положения$\mathbf r$относительно начала нашей системы координат.

Градиент вектора _$\mathbf a$, тензор второго порядка, обозначаемый$\nabla \mathbf a$, определяется как,

$$(\nabla \mathbf a)_{ij} = \frac{\partial a_i}{\partial x_j} \tag{16}$$

где$(\nabla \mathbf a)_{ij}$является компонентом$\nabla \mathbf a$связанный с внешним продуктом$\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j$.

Примечание об антисимметричных тензорах второго порядка

Если тензор второго порядка$\mathbf F$является антисимметричным (т.е.$F_{ji} = -F_{ij}$), то существуют некоторые скаляры$f_k$такой, что

$$F_{ij} = \epsilon_{ijk} f_k \tag{17}$$

или, что то же самое,

$$f_k = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F_{ij} \tag{18}$$

и вектор$\mathbf f$для которого$f_k$это$k$-я компонента называется аксиальным вектором$\mathbf F$. Заметим, что определение векторного произведения в (14) также включает компоненты знакопеременного тензора. Это не случайно, так как векторное произведение в$\mathbb R^3$между двумя векторами$\mathbf a$и$\mathbf f$на самом деле является результатом внутреннего произведения антисимметричного тензора$\mathbf F$и вектор$\mathbf a$,

$$F_{ij}a_j = \epsilon_{ijk} a_j f_k \tag{19}$$

Сила Лоренца

Теперь мы можем рассмотреть уравнение, которое вы написали для$d \vec p/dt$используя более четкие обозначения,

$$\begin{align} \frac{d\mathbf p}{dt} & = e\left[\left(-\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} - \nabla \phi \right) + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf A - \nabla \mathbf A \cdot \mathbf v\right] \\ & = e\left(\mathbf E + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf A - \nabla \mathbf A \cdot \mathbf v\right) \end{align} \tag{20}$$

Перепишем это в нотации суммирования:

$$\begin{align} \frac{dp_i}{dt} & = e\left(E_i + v_l \delta_{lj}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j} \delta_{jl} v_l\right) \\ & = e\left(E_i + \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) v_j\right) \end{align} \tag{21}$$

Термин$(\partial A_j/\partial x_i) - (\partial A_i/\partial x_j)$явно является компонентом$F_{ij}$антисимметричного тензора второго порядка$\mathbf F$, поэтому компоненты соответствующего ему осевого вектора$f_k$являются,

$$\begin{align} f_k & = \frac{1}{2} \epsilon_{ijk} \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left(\epsilon_{ijk}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \epsilon_{ijk}\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left(\epsilon_{kij}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} + \epsilon_{kji}\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left[\left(\nabla \times \mathbf A\right)_k + \left(\nabla \times \mathbf A\right)_k\right] \\ & = \left(\nabla \times \mathbf A\right)_k \\ & = B_k \end{align} \tag{22}$$

Таким образом,

$$\begin{align} \frac{dp_i}{dt} & = e\left(E_i + \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) v_j\right) \\ & = e\left(E_i + \epsilon_{ijk} B_k v_j\right) \\ & = e\left(E_i + \left(\mathbf v \times \mathbf B\right)_i \right) \\ \end{align} \tag{23}$$

Последнее замечание о тензорной формулировке электромагнетизма

При изучении электромагнитных явлений в контексте теории относительности из-за неевклидовой природы геометрии пространства-времени мы не можем упростить наш математический анализ, работая в трехмерном евклидовом базисе; однако, поскольку тензоры являются геометрическими объектами, которые существуют независимо от какой-либо системы координат, используемой для их описания , аналогичный анализ может быть выполнен для получения правильного результата, и в пространстве-времени Минковского вы в конечном итоге построите$4 \times 4$антисимметричный тензор формы,

$$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} = \left(\begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\\end{matrix}\right) \tag{24}$$

более известный как тензор электромагнитного поля и закон силы Лоренца для заряда$q$примет форму

$$\frac{dp_\mu}{d \tau} = qF_{\mu\nu}U^{\nu} \tag{25}$$

где$p_\mu$- ковариантные компоненты четырехимпульса заряда,$\tau$- собственное время, испытываемое зарядом, и$U^{\nu}$– контравариантные компоненты четырехскоростной скорости заряда.