Теорема Лиувилля в сферических координатах

Я пытаюсь проверить инвариантность

$$d\omega=\prod_{i=1}^{3N}dq_idp_i$$ в случае $N=1,$и при каноническом преобразовании в сферические координаты. я знаю, чтобы позволить $$q_1=r\sin\theta\cos\phi,\quad q_2=r\sin\theta\sin\phi\quad, q_3=r\cos\theta,$$ но что было бы подходящим преобразованием для импульсов? То есть, как вы вычисляете якобиан в $$\int\prod_{i=1}^{3}dq_idp_i=\int J\prod_{i=1}^{3}dQ_idP_i$$ явно и найти, что $J=1$как известно из теоремы Лиувилля? Я знаю, что гамильтониан свободной частицы в сферических координатах равен $$\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\dot{r}^2+\left(r\dot{\theta}\right)^2+\left(r\sin\theta\dot{\phi}\right)\right)=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{p_{\theta}^2}{r^2}+\frac{p_{\phi}^2}{r^2\sin^2\theta}\right),$$ но я не понимаю, как я мог бы использовать это, чтобы сказать, какой $p_i$связано с которым $P_i.$