Связь в фазовом пространстве

Первым делом фиксируем общую настройку.

Позволять$M$быть пространством фаз, я предполагаю, что все структуры, которые я далее описываю,$C^\infty$(а$C^2$На самом деле гамильтониана было бы вполне достаточно для многих проблем,$C^3$для справедливости теоремы Лиувилля).

Гамильтонов поток $\Phi$определяется следующим образом.

$$I_a \ni t \mapsto \Phi_t(a) \in M$$ является максимальным решением уравнений Гамильтона с начальным условием$\Phi_0(a) = a \in M$и открытый интервал$I_a\subseteq \mathbb{R}$является (максимальной) временной областью этого решения. Следовательно, область$(t,a) \mapsto \Phi_t(a)$является $$\Gamma := \bigcup_{a\in M} I_a \times \{a\} \subseteq \mathbb{R} \times M\:.$$ Можно доказать, что$\Gamma$открыт. Наконец, из теоремы единственности решения эволюционных уравнений справедливы отношения однопараметрической группы локальных диффеоморфизмов , $$\Phi_0(a) = a\:, \quad \Phi_t(\Phi_u(a)) = \Phi_{t+u}(a)\tag{1}$$ последнее верно для$t,u\in \mathbb{R}$и$a\in M$таким образом, что левая часть определена.

Теперь рассмотрим ``том''$V\subset M$, т. е. открытое связное подмножество. В общем, нет никакой гарантии, что его эволюция$V_t:= \Phi_t(V)$определяется для всех$t\in \mathbb R$. Однако, используя тот факт, что$\Gamma$открыто, легко доказывается, что если$V$достаточно малая (открытая связная) окрестность состояния$a$и$|t| <T$, для некоторой достаточно малой константы$T>0$, затем$\Phi_t(V)$четко определена и открыта.

Карта$\Phi_t : V \to \Phi_t(V)=:V_t$дифференцируемая реклама допускает$\Phi_{-t}: V_t \to V$как инверсия. Поскольку оба отображения дифференцируемы, они заведомо непрерывны. Следовательно, они являются гомеоморфизмами между$V$к$V_t$и, таким образом, они сохраняют все топологические свойства.

В частности,$V_t$связано , если$V$связно (собственно, для его доказательства достаточно, чтобы$\Phi_t$непрерывен, но и здесь сохраняются все топологические свойства).

Заключительные замечания.

1. В некоторых физически значимых случаях$\Gamma = \mathbb{R} \times M$так что последнее в (1) справедливо для любого$a\in M$и все$t,u\in \mathbb{R}$и$\Phi_t:M \to M$является глобальным диффеоморфизмом. Достаточные условия, обеспечивающие это, состоят в том, что каждое максимальное решение уравнений Гамильтона$\gamma : I_a \to M$входит в компактный набор (это может зависеть от решения)$K_\gamma \subseteq M$. Это так, если, например, гамильтониан не зависит от времени явно и его множества уровня компактны. В этих случаях не существует ограничений на$V$и$t$определить$V_t$.

2. Теорема Лиувилля не имеет ничего общего с сохранением связности, поскольку то, что я сказал выше, верно для любой динамической системы, даже на многообразии.$M$с нечетной размерностью , где гамильтонова формулировка невозможна (в смысле симплектической формулировки).