Как мы можем описать электроны многоэлектронных атомов (т.е. не водорода), если уравнения/аналитические решения существуют только для водорода?

Единственными атомами, для которых уравнение Шредингера имеет аналитическое решение, являются одноэлектронные атомы, т.е. H, He$^+$, Ли$^{2+}$и так далее. Это потому, что при наличии более чем одного электрона силы между электронами делают уравнение слишком сложным для аналитического решения. Однако за 90 или около того лет с тех пор, как Шредингер предложил свое уравнение, было разработано огромное количество численных методов для его решения, и, конечно, современные компьютеры настолько мощны, что могут с легкостью рассчитать (электронную) структуру любого атома. Это относится даже к тяжелым атомам, где необходимо учитывать релятивистские эффекты.

Уравнение Ридберга является приближением, поскольку оно не учитывает тонкую электронную структуру. Однако это довольно хорошее приближение. Это работает, потому что для одноэлектронного атома энергия орбиталей (без учета тонкой структуры) пропорциональна 1/$n^2$, где$n = 1$орбиталь с наименьшей энергией,$n = 2$является вторым самым низким и так далее.