Как Ньютон придумал свою формулу?

В то время эта формула была широко обсуждаемой гипотезой (Ч. Рен, Гук, Галлей). Первая попытка проверить формулу была предпринята, когда Ньютон был молодым студентом в Кембридже: он сравнил ускорение от силы тяжести на поверхности Земли (легко измерить, наблюдая, например, падающие яблоки :-) с ускорением Луны на ее орбите (легко измерить). вычислить). И сравнил эти ускорения с радиусом Земли и радиусом орбиты Луны. Согласие было плохим, и Ньютон отказался от этой темы. (Причиной плохого согласия было неправильное значение радиуса Земли, которое Ньютона, по-видимому, преподавали в его университете).

Вторая попытка была вызвана письмом Гука много лет спустя. Гук буквально предложил вывести законы Кеплера (в основном первый закон), исходя из этой формулы. Когда Ньютон сделал это, это показалось ему убедительным доказательством. В следующий раз, когда Эдмунд Галлей задал ему тот же вопрос, Ньютон смог показать ему доказательство. До сих пор обсуждается, было ли доказательство Ньютона действительно доказательством того, о чем спрашивал Галлей (что закон обратных квадратов подразумевает эллиптические орбиты), или он доказал только обратное утверждение: что движение по эллипсам подразумевает закон обратных квадратов. В любом случае любое из двух следствий представляет собой убедительный аргумент в пользу закона обратных квадратов.

К тому времени, когда Ньютон писал книгу, ему уже был известен точный радиус Земли, поэтому его первоначальный аргумент также был оправдан. Другой ранней успешной проверкой закона обратных квадратов было предсказание возвращения кометы Галлея, сделанное Галлеем.

Все это было убедительным доказательством существования всемирного тяготения, но требовалось больше испытаний. (Объяснялись лишь некоторые принципиальные особенности движения планет, но хотелось убедиться, что закон точен, а не приблизителен).

В 18 веке было два решающих испытания. Сначала предсказание формы Земли (проверено в нескольких экспедициях 18 века путем точного измерения дуг меридианов). Вторым и самым важным было количественное объяснение неравномерности движения Луны (из-за возмущения, исходящего от Солнца, Луна не совсем подчиняется законам Кеплера). Здесь сам Ньютон добился лишь частичного успеха, объяснив порядок величины так называемого «первого неравенства». Упорная работа лучших математиков 18 века (Эйлера, Клеро, Лагранжа и некоторых других) наконец увенчалась успехом в количественном предсказании движения Луны. Это был решающий шаг в доказательстве Всемирного закона тяготения.

В 19 веке было проведено больше испытаний, самым известным из которых было предсказание существования Нептуна и расчет его орбиты до того, как он был обнаружен. После этого уже ни у кого не было сомнений.

Как сказал Ньютон, он стоял на плечах гигантов. Одним из таких гигантов был Кеплер, обнаруживший, что периодичность планетарной орбиты связана соотношением

$$T^2~\propto~r^3.$$ Это третий закон Кеплера. Ньютон реализовал второй закон $\vec F~=~m\vec a$движения, что центростремительная сила $$\vec F~=~m\omega^2\vec r.$$ Ньютон предположил, что между всеми массами существует некая универсальная сила. Это основа полумифической истории падения яблока. Затем Ньютон сказал, что согласно второму закону центростремительная сила равна $m\vec a$и эта сила должна иметь вид $\vec F~=~r^n\vec r$и так $$m\omega^2\vec r~=~Kr^n\vec r.$$ Ясно, что $n~=~3$по Кеплеру. Также третий закон Кеплера не зависит от массы орбитального спутника. Ньютон понимал, что величина этой силы должна пропорциональна массе первичного тела. Следовательно $K~=~GMm$.