Траектория снаряда, выпущенного с вершины холма

Вот проблема:

Мальчик стоит на вершине холма, который равномерно спускается вниз под углом.$\phi$. Под каким углом$\theta$должен ли он бросать камень с горизонтали так, чтобы он имел наибольшую дальность?

Я понимаю, что тот же вопрос размещен здесь: https://physics.stackexchange.com/questions/24235/trajectory-of-projectile-thrown-downhill , но у меня есть несколько вопросов, на которые в этой теме не было ответа:

1. Можно ли решить задачу без поворота системы координат? Если да, то как?
2. Я попытался решить задачу с помощью повернутой системы координат, но не могу понять, как это закончить (см. работу, приведенную ниже).

Вот что у меня есть до сих пор:

1. Зададим систему координат так, чтобы положительный$x$ось совпадает с нисходящим склоном холма. Это упрощает задачу, позволяя нам легко связать$\phi$и$\theta$, через отношение$\alpha = \phi + \theta$.
2. $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$
3. $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$
4. $a_x=-g \cos(\phi-\frac{\pi}{2})=-g \cos (-(\frac{\pi}{2}-\phi))= g\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)=g\sin\phi$
5. $a_y=-g \sin(\phi-\frac{\pi}{2})=-g \sin (-(\frac{\pi}{2}-\phi))= -g\sin(\frac{\pi}{2}-\phi)=-g\cos\phi$
6. $v_x=v_{0x}+\int_{0}^{t}{a_x(t \prime)dt \prime}=v_0 \cos \alpha+\int_{0}^{t}{(g\sin\phi) dt \prime} =v_0 \cos \alpha + t(g\sin\phi)$
7. $x=x_0 + \int_0^t{v_x(t\prime) dt\prime} = \int_0^t{(v_0 \cos \alpha + t\prime(g\sin\phi)) dt\prime}=t(v_0 \cos \alpha) + \frac{1}{2}t^2(g \sin \phi)$
8. $v_y=v_{0y}+\int_{0}^{t}{a_y(t \prime)dt \prime}=v_0 \sin \alpha+\int_{0}^{t}{(-g\cos\phi) dt \prime} =v_0 \sin \alpha - t(g\cos\phi)$
9. $y=y_0 + \int_0^t{v_y(t\prime) dt\prime} = \int_0^t{(v_0 \sin \alpha - t\prime(g\cos\phi)) dt\prime}=t(v_0 \sin \alpha) - \frac{1}{2}t^2(g \cos \phi)$
10. Чтобы найти время полета снаряда, найдем время пересечения его траектории с землей (в данном случае$x$ось), установив$y=0$и решение для$t$. $$y=t(v_0 \sin \alpha) - \frac{1}{2}t^2(g \cos \phi)=0$$ $$v_0 \sin \alpha = \frac{1}{2}t(g \cos \phi)$$ $$t=\frac{2v_0 \sin\alpha}{g \cos \phi}$$
11. Замена$t$в уравнение для$x$дает нам расстояние, пройденное снарядом, как функцию углов$\alpha$и$\phi$. $$x=t(v_0 \cos \alpha) + \frac{1}{2}t^2(g \sin \phi)$$ $$x=(\frac{2v_0 \sin\alpha}{g \cos \phi})(v_0 \cos \alpha) + \frac{1}{2}(\frac{2v_0 \sin\alpha}{g \cos \phi})^2(g \sin \phi)$$ $$x=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\sin \alpha \cos \alpha)+\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\sin^2\alpha \frac{\sin\phi}{\cos\phi})$$ $$x=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha\tan\phi)$$
12. Я заметил, что решение в другом потоке исходит отсюда, дифференцируя$x$в отношении$\alpha$, держа$\phi$постоянная, что дает $$\frac{dx}{d\alpha}=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\frac{d}{d\alpha}(\frac{1}{2}(\sin(2\alpha)+\sin^2\alpha\tan\phi))$$ $$\frac{dx}{d\alpha}=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\cos(2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\tan\phi)$$ $$\frac{dx}{d\alpha}=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)\tan\phi)$$ Это уравнение позволяет нам исследовать, как$x$меняется по отношению к$\alpha$. Мы видим, что$x$увеличивается как$\alpha$увеличивается до определенного момента, а затем уменьшается по мере$\alpha$превышает это значение. Это означает, что график$x$имеет относительный максимум при значении$\alpha$который обеспечивает максимальную дальность.
13. Мы хотим найти значение$\alpha$что приводит к максимальной дальности полета снаряда. Другими словами, мы должны определить значение$\alpha$для которого график$x$имеет относительный максимум. Мы достигаем этого, устанавливая $$\frac{dx}{d\alpha}=0=\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}(\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)\tan\phi)$$ Разделив каждую сторону на$\frac{2v_0^2}{g \cos \phi}$производит $$\cos(2\alpha)+\sin(2\alpha)\tan\phi=0$$ Вот где я теряюсь. Кажется, что это должно быть легкой частью, потому что осталось только решить приведенное выше уравнение для$\alpha$, но я не знаю, как это сделать. Может ли кто-нибудь объяснить мне эту часть?

Дополнительно хотелось бы узнать, можно ли решить задачу без поворота системы координат. Первоначально я намеревался решить ее, используя стандартную прямоугольную систему координат, но увяз в некоторых уравнениях, которые, казалось, никуда не ведут. Спасибо за вашу помощь.