Как определить *динамические* размеры?

Я рассматриваю простую игрушечную модель. Пространство-время плоское с г размеры пространства. Используя декартовы координаты, метрика пространства-времени является Минковской:

(1) г с 2 "=" г т 2 − г Икс 1 2 − г Икс 2 2 − г Икс 3 2 − … − г Икс г 2 .
Безмассовое скалярное поле Φ распространяется в этом пространстве-времени в соответствии со следующим УЧП:
(2) ∂ 2 Φ ∂ т 2 − ∂ 2 Φ ∂ Икс 1 2 − ∂ 2 Φ ∂ Икс 2 2 − ∂ 2 Φ ∂ Икс 3 2 − … − ∂ 2 Φ ∂ Икс г 2 "=" 0.
Конечно, г ≥ 1 просто любое целое число . Но что, если она станет динамической переменной, зависящей от значения Φ ? Я не рассматриваю расширение реальных значений; г по-прежнему будет целым числом, но оно может варьироваться от места к месту в пространстве-времени: г "=" 1 в каком-то отрезке пространства-времени, пока г "=" 2 или г "=" 3 в других частях пространства-времени. Сопоставление границ патчей может быть выполнено как толстая строка ( г "=" 1 ) плавно приобретая толщину (цилиндрическая поверхность ; г "=" 2 ), затем получить объем ( г "=" 3 ) и т. д., но я не уверен, что это действительно имеет смысл.

Как мы могли бы понять эту идею динамического пространственно-временного измерения и определить динамику г теперь рассматривается как своего рода новое скалярное поле? (ограничено целыми числами?).

Вводя некоторые переменные коэффициенты масштабирования, я думал о бесконечной метрике, подобной этой:

(3) г с 2 "=" г т 2 − а 1 2 ( т , Икс ) г Икс 1 2 − а 2 2 ( т , Икс ) г Икс 2 2 − а 3 2 ( т , Икс ) г Икс 3 2 − а 4 2 ( т , Икс ) г Икс 4 2 − … ,
где а я ( т , Икс ) новые динамические переменные и я "=" 1 , 2 , 3 , … , ∞ . В одномерном пространстве ( г "=" 1 ), а я "=" 0 для всех я "=" 2 , 3 , … , ∞ . Если пространство двумерное ( г "=" 2 ), затем а я "=" 0 для всех я "=" 3 , 4 , … , ∞ , и т. д.

Я «визуализирую» эти динамические измерения как бесконечность замкнутых циклов; 0 ≤ Икс я < 2 π ℓ , все колеблется в крошечном масштабе ( а я беспорядочно пульсировать и колебаться, так что а я ≈ 0 для большинства я > 1 ), то внезапно взрывается, если скалярное поле Φ получает особое высокое значение, локально или глобально. Когда пространство-время приобретает (или теряет) какое-то новое (старое) измерение локального пространства, оно определяет межпространственный фазовый переход .

Как мы могли бы получить уравнения Эйнштейна (или FLRW) для такой бесконечной метрики, как (3) выше, особенно если а я зависит от т только? Эта идея уже рассматривалась ранее?

Ваша идея меня заинтриговала, но я думаю, что вы делаете вещи менее элегантными, а это плохой знак. Лично я рассматриваю размерность пространства-времени как переменную только в теории струн, где анализ движения струны в D-мерном плоском пространстве-времени эквивалентен рассмотрению D свободных скалярных полей в двумерном (целевом) пространстве-времени. . Зафиксировав калибровочную свободу, мы получим критическое число таких скалярных полей, т. е. размерность D. Плохая новость заключается в том, что здесь не место делиться своими личными идеями и будущими исследованиями, но я надеюсь, что это вам немного поможет!
Насколько я знаю, теория струн использует конечное число измерений ( г "=" 10 , 11 или 26 ?). Идея, которую я хотел бы исследовать, заключается в бесконечном количестве переменных (т.е. динамических) измерений. Эта идея кажется мне очень привлекательной как «естественное» расширение классической общей теории относительности. Меня заинтриговала целочисленная природа измерений пространства-времени, и я «вижу» своего рода аналогию с радиальным квантовым числом атомных (водородных) спектров. Энергия Е н выше при больших значениях н "=" 1 , 2 , 3 , … , ∞ . В нашем пространстве-времени; г "=" 3 , количество измерений довольно "низкоэнергетическое".
Общая теория относительности прекрасно работает в любом количестве измерений, но в D=4 у нее есть некоторые особые свойства, которые делают Вселенную... пригодной для жизни. В любом случае, вы всегда можете работать в измерениях D=p+q (p пространственных и q временных измерений) с аспектами общей теории относительности, которые по-прежнему работают отлично. Наличие бесконечного числа измерений дает много нулей и бесконечностей. Возьмем, к примеру, ньютоновский гравитационный потенциал. Он был бы тождественно равен нулю в бесконечном числе измерений, и гравитация больше не имела бы значения.
@PanosC., обычная GR предполагает, что размеры пространства-времени фиксированы , то есть нединамичны. Почему фиксированный г в самой общей «вселенной»? Где значение г происходит от ? Я не верю, что в Природе существуют какие-то истинные универсальные константы, а есть только взаимосвязанные динамические величины. Конечно, это чистое предположение, но ведь это все-таки физика. Мне интересно, есть ли какие-либо исследования/теории/публикации о бесконечном числе динамических измерений.

Ответы (1)

Я могу сказать вам, что вам нужно спросить на Math SE, чтобы решить этот вопрос: всегда ли «нечистое многообразие» является «несвязным объединением» «чистых многообразий». Насколько мне известно, например, нет гладкого способа вклеить линию в сферу.

Я сильно подозреваю, что это так, потому что я думаю, что нельзя заставить локальные координатные карты переходить из одного пространства в другое, что, я думаю, будет означать, что, рассматривая все открытые шары областей координат на сфере, мы имеем сфера как открытое множество, и, рассматривая открытые шары областей координат на линии, мы имеем линию как открытое множество, и, таким образом, пространство несвязно как объединение двух открытых множеств.

С учетом сказанного, если вас интересуют только теории поля, почему бы вместо этого не попытаться смоделировать что-то, где пространство имеет более высокую размерность, а поле просто имеет области, в которых оно не меняется с Икс 1 ?

Из метрики (3) в моем вопросе я уже рассматриваю высшее многообразие (бесконечных измерений), на котором масштабные множители а я может варьироваться. Это многообразие является своего рода «помощником» или уловкой для реализации динамических измерений.
Как определить *динамические* размеры?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v