Как по сигналу были рассчитаны солнечные массы и расстояние до события слияния GW150914?

Короче говоря: потому что мы измеряем и амплитуду, и фазу.

В амплитуде$A$, расстояние и масса вырождены, поэтому вы можете измерить только следующую их комбинацию:

$$A \propto \frac{1}{r}\frac{(m_1m_2)^{1/2}}{(m_1+m_2)^{1/6}}$$

Между тем фаза очень чувствительно зависит от массы объектов, но не от расстояния. Поэтому мы можем ограничить массы в приведенном выше выражении и разрушить вырождение массы-расстояния, чтобы определить$r$.

---

Длинный (э) ответ:

Фаза и амплитуда ГВ, создаваемых компактными бинарными слияниями, такими как GW150914, невозможно точно смоделировать, и для общего решения требуется численное моделирование относительности. Однако мы можем достаточно хорошо аппроксимировать их в режиме слабого поля, когда объекты движутся достаточно медленнее скорости света (и когда мы достаточно удалены от них).

Мы делаем это, аппроксимируя их орбитальную динамику постньютоновским разложением по малому параметру$(v/c)^2$(куда$v$- орбитальная скорость объектов). К ведущему (ньютоновскому) порядку в этом расширении (т.е. где$v \ll c$), амплитуда$h$и фаза$\psi$формы гравитационного сигнала выглядят так (в частотной области):

$$h(f) = \frac{1}{r}\mathcal{M}^{5/6}f^{-7/6}\exp(i\psi(f))$$ $$\psi(f) = 2\pi f t_c - \phi_c - \frac{\pi}{4} + \frac{3}{128}(\pi\mathcal{M}f)^{-5/3}$$ куда $t_c$это время слияния, $\phi_c$- фаза слияния, а $\mathcal{M}$является массой чирпа . Это приближение можно улучшить, добавив члены более высокого порядка в $v/c$(и на самом деле существует несколько различных способов расширения PN-разложения за пределы ведущего порядка).

Обратите внимание, что расстояние$r$отсутствует в фазе$\psi$. Поскольку чирп-массу можно определить независимо (и очень точно) только по фазе, вырождение в$h$может быть нарушена, и в той мере, в какой можно измерить эволюцию амплитуды (что не так хорошо, как хотелось бы), мы можем определить расстояние$r$.

На практике, однако, имеет место дополнительное вырождение амплитуды в зависимости от положения на небе и ориентации двойного источника. Амплитуда деформации$h$приведенное выше приблизительно верно только для бинарной системы, расположенной лицом к лицу, которая находится прямо над одним детектором; функция отклика детектора на самом деле зависит от местоположения источника (и его ориентации), так что амплитуда для менее чем оптимально расположенной двойной системы будет меньше этого максимума.

Положение на небе можно определить грубо с помощью временной триангуляции или с немного большей точностью, включив разность фаз между местоположениями детекторов. Как говорит Пол Т., наиболее эффективно это делается при последовательном байесовском анализе данных детектора, который соответствует всем параметрам модели одновременно (их 15).

Поскольку местоположение на небе, как правило, довольно плохо измеряется (от десятков до сотен квадратных градусов для типичных сигналов), результирующая ошибка измерения расстояния также велика: обычно 10–30%.

Массы двух двойных объектов закодированы в частоте и эволюции частоты гравитационных волн. При обычной параметризации два параметра, которые легче всего измерить по фазе волны, — это полная масса$M=m_1+m_2$и "масса щебета":

$$\mathcal{M} = \frac{(m_1\, m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}} = \frac{c^3}{G}\left[\frac{5}{96}\,\pi^{-8/3}\,f^{-11/3}\,\dot{f}\right]^{3/5},$$

куда$G$и$c$– гравитационная постоянная Ньютона и скорость света;$f$и$\dot{f}$- частота гравитационной волны и ее первая производная.

Общая масса, расстояние до источника и расположение источников на небе закодированы в амплитуде волн. Как только вы определились$M$и$\mathcal{M}$по фазе можно использовать триангуляцию между несколькими детекторами для определения положения неба. Наконец, имея в руках расположение на небе и общую массу, вы можете определить расстояние.

На практике все эти параметры (и некоторые другие) подбираются одновременно, и приходится иметь дело с множеством корреляций.

Если вам действительно интересно, ознакомьтесь с документом LIGO P1500218 «Свойства слияния бинарных черных дыр GW150914» .

Простой игрушечный ответ: вы можете извлечь его, максимизировав следующую величину, полученную с помощью байесовского анализа:

$(s|h(\mathbf{\theta}))-(h(\mathbf{\theta})|h(\mathbf{\theta}))$, куда$s$это сигнал$\theta$- параметры этой формы волны (например, масса щебета, расстояние и т. д.),$(a|b)=\int \frac{a b^*}{S_n(f)} df$с$S_n$являющаяся спектральной плотностью мощности от детектора LIGO (вы можете получить форму, например, на веб-сайте учебника LIGO) и

$$h(f) = \frac{1}{r}\mathcal{M}^{5/6}f^{-7/6}\exp(i\psi(f))$$ $$\psi(f) = 2\pi f t_c - \phi_c - \frac{\pi}{4} + \frac{3}{128}(\pi\mathcal{M}f)^{-5/3}$$ куда $\mathcal{M}$масса чирпа, $\psi$фаза, $f$частота, $t_c$время слияния, $\phi_c$фаза коалесценции В первом приближении

Чтобы ответить на ваш вопрос о вырождении$M_1$и$M_2$: Гораздо труднее найти отдельные массы при наличии шума, чем найти, например, чирп-массу.$\mathcal{M}$. Именно по той причине, что эти параметры несколько вырождаются с другими параметрами. Также по этой причине, когда вы смотрите на бумагу для обнаружения LIGO, эти параметры имеют более высокие полосы погрешностей, чем масса чирпа. Глядя на формулу для деформации гравитационной волны, амплитуду и фазовые параметры можно определить самостоятельно. Как только вы включите и локализацию неба, и термины более высокого порядка, чтобы$h(f)$, вы увидите, что больше нет строгого вырождения между массой чирпа и отдельными массами.

Примечания, чтобы не запутаться

1. h здесь является только приближением первого порядка и действителен, когда бинарные файлы находятся дальше, чем около$r=6M$Кроме. Для лучшего приближения вам нужны численные решения/полуаналитические модели.
2. The $h$здесь не включена локализация неба, и предполагается, что двоичный файл расположен лицом к лицу.
3. The $h$здесь нет членов более высокого порядка, которые также включали бы симметричное отношение масс$\eta=m_1 m_2 / \mathcal{M}$
4. The $h$сюда не входят функции диаграммы направленности антенны (вам потребуется умножить перекрестную и положительную поляризации на диаграммы направленности антенны, которые являются функциями, зависящими от детектора).
5. The $h$сюда не входит вращение или эксцентриситет бинарной системы
6. Байесовская формула, которую необходимо максимизировать, предполагает наличие гауссовского шума и, следовательно, не работает для негауссовского шума.