Как получается константа закона Био-Савара?

Постоянная в законе Био-Савара на самом деле ни от чего не выводится — она, по сути, определяется фиксированным значением, которое затем служит определением ампера в системе СИ.

Закон Био-Савара для петли с током$C$,

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3},$$ сам по себе бесполезен, и вам нужно соединить его с силой Лоренца, чтобы получить измеримое следствие. В частности, сила на второй токовой петле $C'$затем $$\mathbf F_{C'} = \int_{C'} I'\mathrm d\mathbf l'\times\mathbf B(\mathbf r') = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C'} I'\mathrm d\mathbf l'\times\int_C \frac{I\mathrm d\mathbf l\times(\mathbf r'-\mathbf r)}{|\mathbf r'-\mathbf r|^3}.$$ Эта сила - сила на токовой петле $C'$несущий ток $I'$вызванный током $I$в петле $C$- зависит от двух факторов: геометрии и значений токов. К счастью, эти два фактора полностью разделены: $$\mathbf F_{C'} = \frac{\mu_0}{4\pi} I'I\int_{C'}\int_C \frac{\mathrm d\mathbf l'\times\left(\mathrm d\mathbf l\times(\mathbf r'-\mathbf r)\right)}{|\mathbf r'-\mathbf r|^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}I'I \times \boldsymbol{\mathcal G}_{C'C}.$$ Здесь геометрический фактор $\boldsymbol{\mathcal G}_{C'C}$то же самое независимо от токов, и это только функция петель. Подразумевается, что мы можем зафиксировать константу для одной геометрии, простой случай, который легко проанализировать и реализовать, и тогда это будет работать для всех геометрий. В частности, эталонная геометрия представляет собой два бесконечных провода на расстоянии $L$друг от друга, и в этом случае сила на единицу длины $\Delta l$каждого провода $$\frac{\Delta \mathbf F}{\Delta l} = \frac{\mu_0 I'I}{2\pi L}\hat{\mathbf u}.$$

Вот тут-то и появляется определение ампера: мы фиксируем значение$\mu_0$в$4\pi\times10^{-7} \:\mathrm{N/A^2}$, и это позволяет нам определить ампер как

Ампер — это такой постоянный ток, который, если его поддерживать в двух прямолинейных параллельных проводниках бесконечной длины с ничтожно малым круглым поперечным сечением, расположенных на расстоянии 1 метра друг от друга в вакууме, будет создавать между этими проводниками силу, равную 2 · 10 ⁻⁷ ньютон на метр длины.

Есть много способов определить электромагнитные единицы, но в какой-то момент вам понадобится дать какое-то новое определение и установить стандарт для измерения электрического заряда. Как правило, это можно сделать либо с помощью эталона заряда (по сути, зафиксировав константу по закону Кулона), либо с помощью стандарта тока , как указано выше. SI выбрала последнее, потому что оно обеспечивает более хорошие метрологические свойства полученной системы: это упрощает создание систем измерения, которые всегда будут одинаково точными.

---

Так сказать, форма$\mu_0/4\pi$определенно выглядит очень подозрительно, как и значение магнитной проницаемости вакуума,$\mu_0=4\pi\times10^{-7} \:\mathrm{N/A^2}$; наверняка они откуда -то взялись , верно? Самый чистый ответ заключается в том, что, поскольку это определения, мы можем определить все, что захотим, и нам нужно только обосновать их позже (если вообще), показав, что это удобный выбор.

Конечно, система электромагнитных единиц СИ имеет долгую и легендарную историю, откуда и взялись эти значения, но эта история на самом деле не актуальна в данный момент: константы СИ, такие как$\mu_0/4\pi$имеют ту форму, которую они имеют, потому что это делает «настоящие» уравнения электромагнетизма (и, в частности, уравнения Максвелла) более чистыми. Точно так же числовые значения констант (например, почему$4\pi\times10^{-7}$вместо того, чтобы просто$4\pi$?) были выбраны потому, что они обеспечивают хорошую среднюю точку для большинства повседневных электрических измерений, чтобы иметь разумные значения.

---

И в заключение: описанная выше ситуация на момент написания этой статьи, но стандарты СИ пересматриваются , и новая система, вероятно, вступит в силу примерно в 2018 году . В новой системе мы перейдем от фиксации$\mu_0$зафиксировать значение заряда электрона примерно

$$e=1.602\,176\,487\,186\times 10^{-19}\:\mathrm C,$$ или, более конкретно, к любому конкретному числовому значению, которое является наиболее точным согласно CODATA во время перехода, очень похоже на то, что было сделано с измерителем, когда скорость света была зафиксирована на его текущем точном значении в 1983 году.

Переопределение ампера и кулона будет иметь довольно далеко идущие последствия с точки зрения реализации стандартов (о чем вы можете прочитать больше в этом моем ответе ), а также изменит то, что происходит с константой в Био. -Закон Савара. В частности,$\mu_0$переходит от точного фиксированного значения к экспериментально определяемому со значением

$$\mu_0=\frac{2h}{ce^2}\alpha.$$ Здесь $h$постоянная Планка, $c$это скорость света, а $e$- заряд электрона, все из которых имеют фиксированные значения. Приходит неопределенность $\alpha$, постоянная тонкой структуры , которая представляет собой безразмерную естественную постоянную, которую необходимо измерить экспериментально и которая, грубо говоря, измеряет, насколько сильна электромагнитная связь (в форме постоянной Кулона $e^2/4\pi\varepsilon_0$) по сравнению с квантово-релятивистской стандартной мерой силы связи, $\hbar c$.

Это выглядит как еще более сложный способ определения константы в законе Био-Савара, но это не просто так: в результате долгой истории стандартов электрических измерений, а также для того, чтобы оставаться обратно совместимыми с более чем столетними электрическими измерениями и технологии, но при этом позволяет использовать лучшие передовые технологии в области точных измерений и обеспечивать более качественные, более точные, более стабильные и более последовательные научные измерения в будущем.