Как понять закон напряжения Кирхгофа?

В основном, это из-за сохранения энергии. Напряжение такое же, как электрический потенциал; электрон, движущийся через разность потенциалов в 1 В, получает или теряет ровно 1 эВ =$1.6\times 10^{-19} J$энергии. Мы знаем, что если электрон проходит весь путь по цепи и возвращается в исходную точку, он должен иметь ту же энергию, с которой начал. Следовательно, он должен был пройти через нулевую общую разность напряжений.

Обратите внимание, что закон напряжения Кирхгофа нарушается, когда внутри контура присутствует изменяющееся магнитное поле. Это следствие уравнения Максвелла-Фарадея.

Это из-за того, как определяется напряжение: как разность электрических потенциалов. Электрический потенциал – это число для каждой точки пространства.

Выберите две точки в пространстве, скажем, на выводах упомянутого вами резистора. В каждой из этих двух точек электрический потенциал имеет некоторое значение. Напряжение между ними определяется однозначно как разность этих двух потенциалов.

В то же время чаще всего можно предположить, что любой короткий провод имеет одинаковый потенциал на всем протяжении, и при подключении к любому другому проводу их потенциал в стабильном состоянии одинаков.

Таким образом, напряжение на резисторе должно быть таким же, как напряжение на источнике напряжения, потому что их точки соприкосновения могут использоваться как те две точки, которые используются для определения этого напряжения.

Я понимаю, что батарея создает в цепи разность потенциалов, но я не имею ни малейшего представления о том, почему, скажем, для простой цепи, состоящей из идеального генератора напряжения и резистора, напряжение резистора должно быть равно к напряжению генератора.

Это петля обратной связи. Если падение напряжения на резисторе ниже, чем на источнике напряжения, то заряды будут набирать энергию каждый раз, проходя через петлю. Эта энергия ускоряет заряды и позволяет увеличить ток в цепи. Этот увеличенный ток вызывает большее падение напряжения на резисторе. При одинаковом падении напряжения нет дополнительной энергии для ускорения заряда и ток перестает изменяться.

@Thorondor дал отличный ответ, но я хотел бы расширить его в отношении закона Фарадея-Ленца, поскольку закон Ленца является фундаментальным источником закона Кирхгофа.

Закон Фарадея-Ленца гласит, что

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = \Delta V_{\rm loop} = -\frac{d\Phi_B}{dt},$$ или, в дифференциальной форме$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.$Качественно это означает, что изменяющееся магнитное поле создает неконсервативное электрическое поле. Обратите внимание, что это интеграл по петле, что означает, что мы должны интегрировать по замкнутому контуру.

Итак, давайте рассмотрим простой пример, взятый из журнала Electrical Engineering SE.

У нас есть батарея, резистор и конденсатор. Рассчитаем падение напряжения на каждом компоненте. Для всей цепи,

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = 0,$$ так как здесь нет изменяющегося магнитного поля. С этой спецификацией мы теперь вывели закон напряжения Кирхгофа. $$\Delta V_{\rm loop} = 0 = -\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.$$ Итак, теперь мы знаем, что если мы проинтегрируем весь цикл, то получим ноль в качестве окончательного ответа. Так что давайте делать именно это.

Начните с нижнего левого угла цикла и интегрируйте его по часовой стрелке. Сначала мы сталкиваемся с батареей. Внутри батареи электрическое поле направлено от положительной клеммы к отрицательной. Мы знаем, что у нас будет повышение напряжения на батарее, поэтому давайте назовем это$+V_{\rm batt}$.

Теперь проинтегрируем по резистору:

$$V_R = - \oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -IR.$$ (Обратите внимание, что$\vec{E}$и$d\vec{\ell}$для резистора параллельны.) Электрическое поле постоянно в цепи в стационарном состоянии системы (т. е. после того, как батарея была подключена на короткое время). Электроны (или положительные дырки) ускоряются при прохождении через резистор и выделяют больше тепловой энергии.

Наконец, конденсатор:

$$V_C = - \oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{Q}{C}.$$

Итого имеем:

$$V_{\rm batt} + V_R + V_C = 0$$ $$V_{\rm batt} - IR - \frac{Q}{C}=0.$$

Это тот же результат, который вы получили бы, используя правило петли Кирхгофа, но мы сделали это, используя более общий закон Фарадея. Закон Фарадея-Ленца является фундаментальным уравнением в изучении электромагнетизма. Его применение пронизывает всю нашу повседневную жизнь благодаря его ответственности за производство электроэнергии. Это одно из четырех уравнений Максвелла, которые, в сочетании с законом силы Лоренца, насколько нам известно, дают полную теорию электромагнетизма.

Теперь, так как$\vec{E}$постоянна по всей цепи в установившемся режиме, это означает, что электрический потенциал изменяется линейно между положительной и отрицательной клеммами. То есть, если$E = \rm const.$, затем дано$\vec{E} = -\nabla V$, у нас есть что-то вроде

$$V = -Ex + V_0.$$ Модель Друде рассматривает электроны как имеющие случайные частые столкновения с атомами металла проводника. Эти электроны начинают двигаться, останавливаются при столкновении с проводником, а затем сразу же снова ускоряются. Это дает им чистую «скорость дрейфа». Этот процесс столкновения генерирует тепловую энергию. В модели Друде ток равен $$I = nAu\bar{v},$$ где:$I$ток,$n$- числовая плотность,$A$площадь поперечного сечения проводника/провода,$u$– константа, характеризующая подвижность зарядов, а$\bar{v}$скорость дрейфа электронов. Это позволяет$I$оставаться постоянным, как$A$и$\bar{v}$варьируются по всему контуру. Например, если поперечное сечение провода уменьшится, электронам придется ускориться, чтобы поддерживать постоянную$I$, что и происходит в резисторах.