Как посчитать, сколько фотонов во Вселенной?

Помимо использования слишком малого радиуса Вселенной, который на самом деле составляет около 46 миллиардов световых лет, или$R_\mathrm{Uni}\sim4\times10^{28}\,\mathrm{cm}$— Я думаю, вы только что допустили простую ошибку в расчетах (я предполагаю, что вы смешиваете единицы СИ и СГС):

Ваш результат за$n_\gamma$("$1.64\times10^{17}$фотоны") является числом , тогда как на самом деле результатом должна быть числовая плотность , измеренная, например, в$\mathrm{cm}^{-3}$. Затем это значение следует умножить на объем (наблюдаемой) Вселенной.

Фотоны$\simeq$Фотоны реликтового излучения

В числе фотонов во Вселенной преобладают фотоны реликтового излучения более чем на два порядка (см. этот ответ для обсуждения Универсального фотонного фона). Каждый$\mathrm{cm}^3$пространства занимает примерно$n_\gamma = 410$Фотоны реликтового излучения, которые я оцениваю по наблюдениям в этом ответе, но это также то, что я получаю с вашими собственными расчетами.

Если вы включите все фотоны — не только фотоны реликтового излучения, но также радио, ИК, оптические и т. д. — результат$n_\gamma\simeq413\,\mathrm{cm}^{-3}$).

Следовательно, при объеме$V_\mathrm{Uni} = 4\pi R_\mathrm{Uni}^3/3 = 3.5\times10^{86}\,\mathrm{cm}^3$— общее количество фотонов равно

$$N = n_\gamma V_\mathrm{Uni} = 1.4\times10^{89}\,\mathrm{photons}.$$

---

Как отмечалось выше, число фотонов на самом деле не сохраняется. Однако количество фотонов реликтового излучения, поглощенных с момента их испускания, на самом деле ничтожно мало. Единственным взаимодействием этих фотонов, которое изменяет их состояние, является рассеяние на свободных электронах после повторной ионизации Вселенной (что произошло через 0,5–1 миллиард лет после их испускания). Оптическая глубина этого так называемого рассеяния Томпсона равна$\tau = 0.066$( коллаборация Planck 2015 ), поэтому доля рассеянных фотонов реликтового излучения равна$1 - e^{-0.066} = 0.06$. Но этот процесс не удаляет фотонов из бюджета, а только поляризует их.

Вы можете преобразовать функцию Планка в числовую плотность фотонов в фазовом пространстве:

$$n(\mathbf{x}, \mathbf{p}) = \frac{2}{h^3 \left[\operatorname{exp}\left(\frac{pc}{kT}\right) - 1\right]}.$$ Интегрирование этого выражения как по пространству, так и по импульсам дает формулу для общего числа фотонов: $$\begin{align} N & = \frac{8\pi V}{h^3} \left[\frac{kT}{c}\right]^3 \int_0^\infty \frac{u^2}{\operatorname{e}^u - 1} \operatorname{d} u \\ & = 16 \pi V \left[\frac{kT}{hc}\right]^3 \zeta(3),\end{align}$$ см. выражение для $N$в статье Википедии о фотонном газе .

Использование только космического микроволнового фона (CMB), который очень близок к абсолютно черному телу, будет немного недооценкой, потому что он не учитывает вновь излучаемый свет за последние 13 миллиардов лет или около того, но не намного. В плотности энергии, хранящейся в электромагнитном поле, преобладает реликтовое излучение, и, поскольку его средняя частота ниже, чем у большинства фотонов, излучаемых с тех пор, реликтовое излучение будет в большей степени преобладать в плотности фотонов, чем в энергии.

Для получения дополнительной информации см. этот обзор Cooray за 2016 год , особенно рисунок 1.