Температура сферы, нагревающейся на солнце (средняя излучательная способность сферы неизвестна)

Я застрял на следующем упражнении:

Представьте себе алюминиевую сферу, окрашенную в матово-белый цвет с коэффициентом излучения$\epsilon=0.10$на видимых длинах волн и$\epsilon=0.95$на длинах волн больше, чем$5\text{ }\mu\text{m}$. Эта сфера вращается вокруг Солнца, получая поток мощности$R_{sun}=1330\text{ Wm}^{-2}$. Найдите установившуюся температуру шара. Найдите пиковую длину волны излучаемой энергии и определите, какое значение$\epsilon$следует использовать для расчета излучаемой энергии.

Сначала я понял, что сфера с радиусом$r$получает солнечное излучение только на площади$\pi r^2$будучи способным излучать радиацию по всей площади$4\pi r^2$. Таким образом, поток мощности, излучаемый сферой, должен составлять четверть потока мощности, который она получает:

Я не получить намного дальше, чем это, хотя. Я бы хотел продолжить расчет температуры, например, с помощью$R=\epsilon_{avg}\sigma T^4$, но средний коэффициент излучения зависит от температуры и я даже не знаю$\epsilon$для большинства длин волн, так что это не вариант. Единственное другое соответствующее уравнение, которое я знаю, это закон Планка:

Но$\epsilon$дается только для видимого света и длин волн более 5 микрометров. Я подумал о приближении разрыва между ними с помощью линейной функции, подобной этой:

но даже при этом я не знаю, как я мог бы использовать закон Планка для расчета температуры. Любые идеи приветствуются.