Как потери энергии ускоряющим зарядом выражаются в уравнениях движения?

Я понимаю, как и почему ускоряющий заряд испускает излучение и теряет при этом энергию, а также формулу Лармора для мощности и ее вывод.

Однако в классической механике, когда мы хотим найти движение частицы, процесс (теоретически) прост — найти все силы, действующие на частицу, как функцию положения и времени, подключить второй закон Ньютона и решить дифференциальное уравнение. Мне кажется, что просто потому, что частица заряжена, этот процесс просто перестает работать.

Когда речь идет о заряженной частице, просто недостаточно найти все силы и решить закон Ньютона — теперь нужно как-то учесть энергию, теряемую частицей на излучение. Однако никто, кажется, не упоминает, как это учитывать, как член уравнения движения. Кажется, что все, что мы знаем, это общая мощность, излучаемая частицей — нет конкретного, полного описания того, как эта потеря влияет на ее движение.

Конечно, в некоторых простых случаях мы можем легко догадаться, как это повлияет на частицу: например, для электрона, вращающегося в однородном магнитном поле, очевидно, что потеря энергии из-за излучения заставит электрон вращаться по спирали внутрь. Можно хотя бы теоретически написать силу Лоренца, действующую на частицу, обусловленную однородным полем, подставить ее во второй закон Ньютона, а также написать формулу Лармора, учесть эту потерю и найти полное описание движения частицы .

Тем не менее, когда мы записываем здесь просто второй закон Ньютона, причем единственной силой является сила Лоренца, мы находим круговое, а не спиральное решение; мы должны синтетически добавить формулу Лармора, чтобы действительно восстановить движение частицы. В отличие от классической механики, где закон Ньютона является полным описанием движения.

  • Почему закона Ньютона больше недостаточно, или, другими словами, какой член я упустил, чтобы зафиксировать движение электрона, добавить дополнительную «силу», которая заставит его двигаться по спирали внутрь?
  • Есть ли общее выражение для этой силы? А как вообще написать уравнение движения заряженной частицы (или системы)?

Я подозреваю, что ответ как-то связан с тем, что электромагнитное поле изменяется не мгновенно, а со скоростью света, поскольку закон тяготения Ньютона явно дает стабильные замкнутые орбиты и распространяется мгновенно. Пожалуй, мне следует сформулировать свой вопрос так:

  • Как тот факт, что электромагнитное поле распространяется с конечной скоростью, влияет на то, как мы должны писать уравнения движения заряженной частицы (в отличие от уравнений движения массивной частицы, на которую действует мгновенное ньютоновское гравитационное поле )?

И последнее замечание: возможно, это как-то связано с тем, что уравнения Максвелла являются лоренц-инвариантными, а не галилеевыми? Однако я считаю, что это маловероятно, поскольку электрон не должен двигаться с релятивистской скоростью, чтобы испытать этот эффект. В любом случае, именно поэтому я позволил себе использовать второй закон Ньютона, а не его (специальное) релятивистское выражение — решит ли это проблему?

Это хороший вопрос.
См.: радиационная реакция в указателе Джексона и Рорлиха, Классические заряженные частицы .
См. также Ландау и Лифшиц, т. 1, с. 2 §65,75--77.

Ответы (3)

Ничего не упущено, проблема вызвана тем, что не учитывается взаимодействие заряда с электромагнитным полем, генерируемым им самим. С этой так называемой «самосилой» трудно обращаться, потому что связанные с ней потенциалы формально бесконечны для точечного заряда. Теперь для покоящейся частицы собственная сила должна обращаться в нуль в силу симметрии, из чего в силу лоренц-инвариантности следует, что она исчезает для частицы, движущейся с постоянной скоростью. Когда заряд ускоряется, он больше не исчезает, а дает эффект обратной реакции испускаемого электромагнитного излучения.

Проблема того, как строго трактовать самосилу в рамках классического электромагнетизма, до недавнего времени была нерешенной, существовали только эвристические подходы, которые, как известно, страдали от проблем. Например, сила Абрахама-Лоренца учитывает внутреннюю силу, но это происходит за счет предварительного ускорения. Когда мы включим электрическое поле в какой-то момент, заряд начнет ускоряться как раз перед включением поля.

Только недавно был дан строгий вывод собственной силы, см. эту статью . Здесь можно упорядочить бесконечности из-за точечных зарядов, заменив их телами конечного размера, а затем рассмотрев полное решение уравнения движения, а затем взять предел, при котором тело сжимается до нуля, но также заряд и масса масштабируются до нуля. в этом пределе.

Это хорошее объяснение, однако означает ли это, что выражение Лоренца для силы просто неверно? Потому что, как меня учили, точечный заряд просто не создает никакого поля в той точке, в которой он находится. Или вы имеете в виду, что выражение Лоренца верно, но частица взаимодействует только с полями, которые она создала в другой точке, после того, как она перешел к этому моменту? Но это кажется очень нелогичным, поскольку созданное им поле движется со скоростью света, в то время как частица может двигаться с нерелятивистской скоростью и по-прежнему ощущать этот эффект, даже если она «не сможет этого сделать».
У меня складывается впечатление, что я, возможно, все испорчу, но я не понимаю, что не так с моей мысленной картиной (где поля, создаваемые самой частицей, на самом деле не влияют на нее, потому что они движутся намного быстрее, чем частица). и поэтому частица не может «до них добраться»).
Подробное рассмотрение см. в Rohrlich, Classical Charged Particles . Я не могу рекомендовать эту книгу достаточно.

Почему закона Ньютона больше недостаточно, или, другими словами, какой член я упустил, чтобы зафиксировать движение электрона, добавить дополнительную «силу», которая заставит его двигаться по спирали внутрь? Есть ли общее выражение для этой силы? А как вообще написать уравнение движения заряженной частицы (или системы)?

Закона Ньютона недостаточно, потому что в электромагнитной теории тела, состоящие из нескольких частиц, могут испытывать ненулевую результирующую силу из-за своих собственных частиц. В ньютоновской теории внутренние силы всегда компенсируют друг друга, но в электромагнитной теории они не могут. Однако это не нарушает закон сохранения импульса, поскольку можно ввести электромагнитный импульс, что позволяет ввести другой, более общий закон сохранения импульса.

Простейшая модель, в которой можно увидеть этот эффект, — это пара точечных зарядов одного знака, удерживаемых на близком взаимном расстоянии каким-либо другим незаряженным телом.

Представьте, что такая пара находится в однородном внешнем электрическом поле. Предполагая, что каждая точечная частица испытывает электромагнитную силу из-за внешнего поля и из-за другой частицы, и предполагая, что электромагнитные поля, создаваемые частицами, задаются стандартными запаздывающими решениями уравнений Максвелла для точечного заряда (распространяющегося от частицы), оказывается, что сумма сил на всю пару не всегда равна чистой внешней силе, за исключением особой ситуации, когда пара находится в состоянии покоя. Недостающая разница определяется суммой внутренних электромагнитных сил (сила 1 на 2 + сила 2 на 1), и, в отличие от ньютоновской механики, она может быть не нулевой, если пара движется.

Пара будет двигаться с ускорением из-за внешнего поля, но это ускорение не просто (чистая внешняя сила)/(сумма масс), даже если двигаться медленно. Из-за упомянутых внутренних сил будет действовать другая сила, и ее величина и направление будут зависеть от состояния движения обеих частиц.

Оказывается (из подробных расчетов), что для сопутствующих частиц одного знака суммарный эффект их запаздывающего взаимодействия таков:

  • кажущаяся масса системы увеличивается; это увеличение тем больше, чем ближе частицы; смысл этого увеличения в том, что система будет иметь более низкое ускорение, чем можно было бы ожидать, основываясь на ньютоновской теории;

  • уравнение движения пары в целом содержит не только электрическую силу, обусловленную внешним электрическим полем, но и другую силу, противодействующую движению. Этот эффект обычно называют «радиационным демпфированием» или «самосилой». Эта сила сопротивления такова, что чистый закон сохранения энергии сохраняется, т. е. работа, совершаемая внешним полем, идет частично на

1) увеличение энергии материальных частиц γ 1 м 1 с 2 + γ 2 м 2 с 2 ; 2) увеличение энергии ЭМ в окружающем пару пространстве; часть этого уходит от пары, часть остается локализованной рядом с парой.

Я подозреваю, что ответ как-то связан с тем, что электромагнитное поле изменяется не мгновенно, а со скоростью света, поскольку закон тяготения Ньютона явно дает стабильные замкнутые орбиты и распространяется мгновенно. Пожалуй, мне следует сформулировать свой вопрос так:

Вы правы, демпфирующая сила за счет взаимных внутренних сил присутствует только потому, что силы возникают за счет запаздывающих полей, которые следуют из релятивистской ЭМ теории. Если вместо этого используются ньютоновские или кулоновские поля, такого демпфирующего эффекта не возникает.

Как тот факт, что электромагнитное поле распространяется с конечной скоростью, влияет на то, как мы должны писать уравнения движения заряженной частицы (в отличие от уравнений движения массивной частицы, на которую действует мгновенное ньютоновское гравитационное поле )?

Силы больше не могут быть выражены как функции положения частиц в одно и то же время. Для запаздывающих полей их иногда можно записать как функции настоящего и прошлого положений, скоростей и ускорений.

Хорошо, но можно ли сделать это только с одной частицей?
Если частица состоит из более мелких частиц, то в принципе да, но на практике это сложно, поэтому я объяснил простейший случай, когда частица состоит из двух точечных частиц. Если частица не состоит (является точечной частицей), то нет последовательного способа ввести вклад ЭМ массы/энергии; самый простой и последовательный способ думать о точечной частице состоит в том, что она не действует сама на себя.

Мне удалось увидеть статью, анализирующую проблему излучения ускоренного заряда, но предполагающую, что в основе явления нет ньютоновской силы. Автор проводит анализ теоремы Пойнтинга в зависимости от всех существующих полей: внешнего, индукционного и радиационного, для случая ускоренного заряда во внешнем поле, и показывает наличие проблемы с физической причинностью; так как сохранение энергии в данный момент зависело бы от значений ускорения частицы в будущие моменты. При попытке решить эту проблему причинности в контексте теоремы Пойнтинга необходимо принять связь между полем излучения и собственным полем частицы, которая приводит к динамическому уравнению, отличному от ньютоновского:

г г т ( а − 1 м Ф доб. ) + б × ( а с ) 2 в знак равно 0

а = ускорение, Ф доб. = сила Лоренца, в = скорость, с = скорость света, б = постоянный

В работе анализируются несколько движений с этим законом: постоянное электрическое поле, постоянное магнитное поле, кулоновское поле и гармонический осциллятор.

Статья "Излучение ускоренного заряда". EC del Río, доступный в Интернете в «Международном журнале электромагнетизма (IJEL)» (2016 г.); рецензируемый индийский журнал.

Как потери энергии ускоряющим зарядом выражаются в уравнениях движения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v