Как работает этот интеграл Гаусса по вспомогательному полю в двумерной топологической калибровочной теории?

Марион

В «Лекциях по двумерным калибровочным теориям: топологические аспекты и методы интеграла по путям» Томпсона и Блау уравнение (2.2) гласит:

\begin{matrix} (2.2) & \int [Д А] опыт (\int Т р (Ф ⋆ Ф) "=" \int [Д А Д ф] опыт (\int Т р (я ф Ф) + \int д мю Т р ф^{2}), \end{matrix}

$\int [DA] \exp\left( \int Tr(F\star F \right) = \int [DA \, D\phi] \exp\left( \int Tr (i \phi F) + \int d\mu Tr \phi^2 \right),\tag{2.2}$ где все интегралы находятся по римановой поверхности

Σ_{g}

$\Sigma_g$ ,

F

$F$ - напряженность поля связи

A

$A$ и

ϕ

$\phi$ является скалярным матричнозначным полем. Обратите внимание, что я опустил некоторые постоянные факторы. Там написано, что LHS можно получить, выполняя интеграл Гаусса по

ϕ

$\phi$ в РХС. Как именно это работает? Я не понимаю, как выполняется это равенство. И в чем мера

d μ

$d \mu$ видели в РГС?

Ответы (2)

Qмеханик

Подсказки:

Пространство-время двумерно. Позволять $\nu:=\star 1$ быть формой вершины/объема/площади, которая является замкнутой, но не точной 2-формой. (Его следует отождествлять с мерой $d\mu$ в газете.)
Тогда существуют скалярные функции со значениями в алгебре Ли $f$ , такой, что $F=f \nu$ .
Лагранжева 2-форма становится (с точностью до постоянных множителей)
$\begin{matrix} (А) & л "=" Т р (Ф ⋆ Ф) "=" ν Т р (ф^{2}) . \end{matrix}$ $\mathbb{L}~=~{\rm Tr}(F\star F)~=~\nu{\rm Tr}( f^2). \tag{A}$
Покажите, что интегрирование скалярного поля со значениями в алгебре Ли $\phi$ / завершая квадрат справа. экв. (2.2) дает ту же лагранжеву 2-форму (A).

Марион

Что

⋆ 1

$\star 1$ ? Вы имеете в виду, что двойственный по Ходже скаляр является формой с двумя?

Qмеханик

↑

$\uparrow$ Да.

Марион

Хорошо, я не уверен насчет знаков, но да, это имеет смысл.

Любопытный Разум

Форма объема на римановой поверхности $\Sigma_g$ обозначается $\mathrm{d}\mu$ . Вплоть до $C^\infty$ -нормализация, это единственная 2-форма на поверхности. Поскольку оно уникально, мы можем написать $F = f \mathrm{d}\mu$ для некоторых $\mathfrak{g}$ -значная функция $f$ .

Формальный интеграл по путям по $\phi$ действительно просто интеграл Гаусса: мы можем записать действие теории BF на правых сторонах как

С_{БФ} [А, ф] "=" \int Т р (я ф ф + ф^{2}) д мю "=" \int (Т р ({(ф + \frac{я}{2} ф)}^{2}) + Т р (\frac{1}{4} ф^{2})) д мю

$S_\text{BF}[A,\phi] = \int \mathrm{Tr}(\mathrm{i}\phi f + \phi^2)\mathrm{d}\mu = \int \left(\mathrm{Tr}\left(\left(\phi + \frac{\mathrm{i}}{2}f\right)^2\right) + \mathrm{Tr}\left(\frac{1}{4}f^2\right)\right)\mathrm{d}\mu$ заполнив квадрат. Теперь, по формальной аналогии между интегралом по траекториям и обычными интегралами,

\int e^{- S_{BF} [A, ϕ]} D ϕ = c \int e^{- \frac{1}{4} \int T r (f^{2}) d μ} D ϕ

$\int \mathrm{e}^{-S_\text{BF}[A,\phi]}\mathcal{D}\phi = c \int \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}\int\mathrm{Tr}(f^2)\mathrm{d}\mu}\mathcal{D}\phi$ , где

c = \int e^{\int T r ((ϕ + i f / 2)^{2})} D ϕ

$c = \int \mathrm{e}^{\int\mathrm{Tr}((\phi+\mathrm{i}f/2)^2)}\mathcal{D}\phi$ – постоянное значение интеграла Гаусса, не зависящее от

f

$f$ .

Марион

Тогда это просто плохая запись того, что они пишут

T r ϕ F

$Tr \phi F$ вместо того, как вы пишете

T r ϕ f

$Tr \phi f$ ?

Любопытный Разум

@Marion Ну, «плохая запись» субъективна. С

T r (ϕ F) = T r (ϕ f) d μ

$\mathrm{Tr}(\phi F) = \mathrm{Tr}(\phi f)\mathrm{d}\mu$ , и моя, и их версия верны, и

F

$F$ Является ли переменная более естественной для выражения действия, поскольку она получается непосредственно из

A

$A$ без использования метрики.

Как работает этот интеграл Гаусса по вспомогательному полю в двумерной топологической калибровочной теории?

СпросиСеть Политика конфиденциальности1y, 0v