Быстрый вопрос: форма кривизны соединения на тривиальном расслоении [закрыто]

Позволять$L=\mathbb{R}^2\times U(1)$быть тривиальным$U(1)$-связывать$\mathbb{R}^2$. Определить соединение$\nabla=d+A$где$A=fdx+gdy$является$\mathbb{R}$ценится$1$- форма на$L$. То есть,$\nabla$дает распределение$\mathcal{H}$на$L$- горизонтальное распределение.

Распространение$\mathcal{H}$получается как график$-A$как линейная карта из$\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$. Горизонтальный подъемник$\tilde{X}$векторного поля$X$на$\mathbb{R}^2$дан кем-то$\tilde{X}=(X,-A(X))$.

Позволять$\alpha$быть проекцией на вертикальное направление на$L$то есть$\ker(\alpha)=\mathcal{H}$, и определить кривизну$2$-форма$\Omega_{\nabla}$связи$\nabla$к

$$\Omega_{\nabla}(X,Y)=\alpha([\tilde{X},\tilde{Y}])$$

Ожидается, что следующее будет правдой

$$\Omega_{\nabla}=-dA?$$

Вот мое замешательство:

Позволять$z$— локальная вертикальная координата,$X=\partial_x$и$Y=\partial_y$. Затем$\tilde{X}=-f\partial_z+\partial_x$и$\tilde{Y}=-g\partial_z+\partial_y$. И

$$-dA(X,Y)=-X(A(Y)+Y(A(X))+A([X,Y])=-\partial_xg+\partial_yf$$ пока $$[\tilde{X},\tilde{Y}]=(f(\partial_zg)-g(\partial_zf)-\partial_xg+\partial_yf)\partial_z$$ поэтому $$\Omega_{\nabla}(X,Y)=\alpha([\tilde{X},\tilde{Y}])=f(\partial_zg)-g(\partial_zf)-\partial_xg+\partial_yf.$$ Где ошибка?