Как рассчитать дельта-v, необходимую для перехода Хомана с круговой орбиты вокруг одного тела на круговую орбиту вокруг другого?
Я предполагаю, что вам нужно знать массы двух тел и массу того, вокруг чего они вращаются, а также радиусы различных орбит. Предположим, что все они известны.
Вот примерное, но достаточно точное решение. Это предполагает, что орбита вокруг вылетающего тела совмещена с исходящей асимптотой орбиты Гомана, что является стандартной практикой при выводе космического корабля на парковочную орбиту с помощью ракеты-носителя перед его маневром ухода. Это также предполагает, что орбиты тел вокруг Солнца круговые и компланарные. Это довольно близко для планет (как они определены в настоящее время) относительно нашего Солнца.
Мы также будем предполагать мгновенные маневры, что является хорошим приближением для химических ракет и что следует из использования решения Хомана. Передача будет совершенно другой для систем с малой тягой.
The можно определить повторным применением этого уравнения, которое просто говорит, что полная энергия является суммой кинетической энергии и потенциальной энергии:
куда - полная энергия на единицу массы объекта или «удельная энергия», - скорость объекта в текущем положении, - GM центрального тела, т.е. гравитационная постоянная Ньютона, умноженная на его массу, и - текущее расстояние от центра центрального тела.
Суть в том, что полная энергия объекта есть константа движения по орбите.
Мы также будем использовать тот факт, что орбиты являются эллипсами, и это уравнение, которое определяет, что постоянная движения от апсид орбиты, т. е. радиусов ближайшей и самой дальней точек орбиты, а также :
Для этой задачи мы определяем:
= ГМ Солнца.
= GM кузова отправления.
= GM тела прибытия.
= радиус орбиты вылетающего тела вокруг Солнца, предполагаемой круговой.
= радиус орбиты тела прибытия вокруг Солнца, предполагаемой круговой.
= радиус круговой орбиты космического корабля вокруг вылетающего тела.
= радиус круговой орбиты космического корабля вокруг прилетающего тела.
Переходная орбита Хомана имеет апсиды а также . Значит, его удельная энергия:
Затем мы вычисляем скорость этой орбиты в :
который дает:
Для круговой орбиты вылетающего тела вокруг Солнца имеем его скорость относительно Солнца:
или же:
Геометрия диктует, что скорость переходной орбиты Хомана в перицентре находится в том же направлении, что и скорость вылетающего тела, и они находятся на одном радиусе от Солнца. Таким образом, изменение скорости от круговой орбиты вылета до переходной орбиты Хомана - это просто разница (это будет возведено в квадрат позже, поэтому знак не имеет значения):
Это изменение скорости для перехода с орбиты вылетающего тела на переходную орбиту Хомана, но без присутствия вылетающего тела. Чтобы выполнить маневр с круговой орбиты вокруг тела, мы будем использовать коническое приближение с заплатками, в котором нам нужна скорость выхода из тела, равная этой скорости переноса. Здесь важна плоскость орбиты вокруг тела, поскольку она должна совпадать с направлением скорости переноса, чтобы свести к минимуму . В данном случае это плоскость, разделяемая орбитами двух тел.
Удельная энергия сбежавшего объекта, достаточно далекого от тела (где достаточность лежит в основе приближения заплатанной коники), представляет собой уравнение энергии, в котором второй член стремится к нулю по мере того, как расстояние приближается к бесконечности:
Теперь, чтобы получить изменение скорости этого убегания и впрыска в передачу Хомана, мы берем разность между скоростью этой убегающей энергии на радиусе орбиты космического корабля вокруг вылетающего тела и орбитальной скоростью космического корабля:
Это фактическое требуется космическому кораблю для перехода непосредственно с круговой орбиты вокруг вылетающего тела на переходную орбиту Гомана за один мгновенный маневр.
Мы можем повторить все это для выведения на орбиту прибытия, чтобы получить:
Общая является суммой двух маневров:
или немного упростить:
Для проблемы n тел не существует решения в закрытой форме, поэтому вы, вероятно, начнете с использования подхода с заплатками-конусами. Это будет рассматривать траекторию как простой переход Хомана между сферами влияния (при условии, что ваши тела находятся на копланарных орбитах). Дельта-v для переноса Хомана хорошо известна. К этому вы добавите (вычтете) дельта-v для "заплатанных" траекторий внутри сфер влияния тел, которые разрешимы для двух (n=2) тел.
На этом этапе вам, вероятно, понадобится уточненный ответ, особенно если вы собираетесь участвовать в этой миссии. Это означает, что вам нужно будет выполнить некоторое численное интегрирование с вашей аппроксимацией заплатанного конуса в качестве отправной точки.
Удачи, и не забудьте взять достаточно еды!
Atomic Rockets — еще один отличный источник. Объяснения простым языком с хорошей графикой и достаточной математикой, чтобы быть полезными. «Ракетно-космические технологии» еще лучше для технически подкованных — в основном онлайн-учебник с практическими задачами.
Джо
ХопДэвид
Корнелис
Корнелис
Марк Адлер
Корнелис
Марк Адлер
Марк Адлер