Как рассчитать мгновенную скорость объекта на кривой? [закрыто]

$$\Delta E=W_{nc}$$

В любой точке кривой, учитывая бесконечно малое перемещение$dx$по оси x (правая декартова система координат xy) из исчисления имеем:

$$dy=f'(x)dx\ ,\ ds=\sqrt{1+f'(x)^2}dx$$

Где$ds$есть бесконечно малое смещение кривой.

Работа, совершаемая трением (единственная неконсервативная сила здесь) во время перемещения$ds$является:

$$W_{nc}=-\mu ds$$

Где$\mu$- коэффициент трения между шариком и поверхностью кривой.

Тогда изменение механической энергии равно:

$$\Delta E=\frac12 m((v+dv)^2-v^2)-mgdh$$

Где$m$это масса мяча и$dh$бесконечно малое (положительное) изменение высоты. Если предположить:

$$\forall x;f'(x)\lt0$$

Что гарантирует, что мяч никогда не соскочит с кривой, мы можем сказать:

$$dh=-dy=-f'(x)dx$$

Затем мы получаем:

$$\Delta E=\frac12 md(v^2)+mgf'(x)dx=-\mu \sqrt{1+f'(x)^2}dx=W_{nc}$$

$$d(v^2)=-2\left(\frac{\mu}{m} \sqrt{1+f'(x)^2}+gf'(x)\right)dx$$

---

$$v(x)=\sqrt{-2\int_{x \text{ of start point}}^{x \text{ of end point}}\left(\frac{\mu}{m} \sqrt{1+f'(x)^2}+gf'(x)\right)dx}$$

Вышеприведенное является явным выражением$v(x)$.

В твоем случае,$f(x)=e^{-ax}$, поэтому подключите параметры. И дайте приведенное выше выражение компьютеру (например, Mathematica), чтобы решить его для вас численно.

Сделанный.

Вы определенно не хотите решать эту проблему с помощью лагранжевой или гамильтоновой механики. Зная коэффициент статического трения, вы можете вычислить ускорения в направлениях x и y и т. д.

Здесь важна геометрия задачи. Нас интересует направление касательной к кривой$y = e^{-ax}$, и направление, перпендикулярное ему. Направление касательной к кривой в точке$x$имеет наклон$f'(x)$, где$f'(x)$является производной от$f(x)$в отношении$x$. Направление нормали к кривой в точке$x$имеет наклон$-1/f'(x)$. Теперь вернемся ко второму закону Ньютона:

$$F_x = N\sin \theta - f_k \cos \theta,$$ $$F_y = -mg+N\cos \theta + f_k \sin \theta,$$ где $f_k$сила кинетического трения (определяемая как $N\mu_k$), и $N$это нормальная сила. Мы можем найти нормальную силу сразу, суммируя силы вдоль направления, перпендикулярного кривой, чтобы найти, что $N = mg\cos \theta$. Теперь осталось только найти то, что $\theta$является. я определил $\theta$выше, чтобы быть углом, стягивающим силу тяжести и направление, антипараллельное направлению нормальной силы. Как только вы изучите немного больше геометрии, вы сможете найти выражения для $\sin \theta$и $\cos \theta$с точки зрения х. Теперь, подставив эти выражения в ваши уравнения второго закона, вы по существу получите: $$m\ddot{x} = F(x),$$ $$m \ddot{y} = G(x).$$ Ключом к решению первого уравнения является признание того, что $\ddot{x} = \dot{x}(d\dot{x}/dx)$. Используя этот факт, вы можете найти скорость в направлении х как функцию от х, просто разделив дифференциальное уравнение и проинтегрировав. Для второго уравнения вы должны инвертировать x в y и использовать тот же трюк, то есть найти $H(y)$такой, что $m\ddot{y} = G(x) = H(y)$. Затем мы записываем двойную производную по времени по y аналогично тому, что мы писали для x, и действуем как обычно.

Надеюсь, я указал вам полезное направление!