Расчет ускорения по измерениям смещения

Правило номер 1 при анализе экспериментальных данных:

1. Нарисуйте график

И правило номер 2

2. Если возможно, нарисуйте линейный график

Давайте послушаемся правилу 1 и нарисуем графически ваши данные. Мы получаем:

Хорошо, это выглядит как квадратичное, как и ожидалось. Но поскольку это не прямолинейный график, трудно понять, квадратичный он или нет. Чтобы получить прямой график, мы должны поиграть с данными. Мы ожидаем, что уравнение расстояние:время будет:

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Предположим, мы предполагаем$u=0$, то это упрощается до:

$$s = \tfrac{1}{2}at^2$$

Итак, если мы построим график$s$против$t^2$мы должны получить прямую линию с градиентом$\tfrac{1}{2}a$. Что ж, давайте сделаем это. Результат:

Красные точки — это ваши данные, а синяя линия — это прямая линия, которую я нарисовал, чтобы дать то, что я считаю лучшим кулаком по точкам. И, ну, синяя прямая линия выглядит довольно хорошо. Градиент линии$0.158$м/сек$^2$, а это$\tfrac{1}{2}a$так что мы получаем:

$$a = 0.316 \,\text{m/sec}^2$$

Но действительно ли это лучший вариант? Является$u$действительно ноль? Ну, мы можем взять наше уравнение:

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Разделить на$t$получить:

$$\frac{s}{t} = u + \tfrac{1}{2}at$$

Это говорит нам о том, что если мы построим график$s/t$против$t$мы должны получить прямую линию с градиентом$\tfrac{1}{2}$и$y$перехват$u$. Хорошо, давайте попробуем. На этот раз мы получаем только три очка, потому что первое очко дает$s/t = 0/0$, чего мы не можем сделать. Во всяком случае, с тремя точками график выглядит так:

Опять же, красные точки — ваши данные, а синяя прямая — моя. Хотя это длинная экстраполяция назад к$y$ось мне кажется$u$точно не ноль. На самом деле, когда я измеряю градиент и перехватываю прямую линию, я получаю:

$$\begin{align} a &= 0.291 \,\text{m/sec}^2 \\ u &= 0.30 \,\text{m/sec} \end{align}$$

Наконец, давайте вернемся к исходному графику и покажем ваши данные вместе с кривой, которую мы получим, если воспользуемся значениями$a$и$u$выше. Теперь график выглядит так: |

Я бы сказал, что это было довольно хорошо подходит!

Предполагая, что скорость$u(t_1)=0$в исходном положении$s(t_1)=0$, то использованная вами формула верна для первой точки. Поскольку вы не знаете, является ли ускорение постоянным в вашей задаче, для каждого другого расчета вам необходимо вычислить начальную скорость из предыдущих точек. Пример:

От 1$\rightarrow$2 :

Предположим, что$\Delta t_{12}$достаточно мала, так что ускорение в это время почти постоянно:

$$s(t_2)=s(t_1)+u(t_1)t_2+\frac{1}{2}at_2^2\implies26.4=0+0\times12.48+\frac{1}{2}a(12.48)^2\implies a=0.339\>\text{m/s$^2$}$$ Таким образом, скорость находится в точке 2. $$u(t_2)=a\Delta t_{12}+u(t_1)\implies u(12.48)=0.339\times 12.48+0=4.231\>\text{m/s}$$ От 2$\rightarrow$3 :

Предположим, что$\Delta t_{23}$достаточно мала, так что ускорение в это время почти постоянно:

$$s(t_3)=s(t_2)+u(t_2)\Delta t_{23}+\frac{1}{2}a\Delta t_{23}^2\\\implies52.8=26.4+4.231\times(18.06-12.48)+\frac{1}{2}a(18.06-12.48)^2\\\implies a=0.179\>\text{m/s$^2$}$$ И так далее и тому подобное. Обратите внимание, как я использовал формулы, связанные с постоянным ускорением. Так что имейте в виду, что эти ответы являются лишь приблизительными.

РЕДАКТИРОВАТЬ :

После рассмотрения, если предположить, что$u(t_1)=0$является ложным. Действительно, гораздо удобнее считать, что а = константа. Затем вы можете подобрать данные и найти, что

$$s(t)=0.146t^2+0.293t,$$ что дает $\pm0.05$ошибка на максе по четырем точкам.

Взгляните на полное уравнение смещения как функции времени:

$$s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$

Здесь,$s(t)$положение в зависимости от времени,$s_0$это положение в$t = 0$,$v_0$это скорость на$t = 0$, и$a$(постоянное) ускорение. В вашем конкретном случае,$s_0 = 0\,m$,$v_0 = 0\,\frac{m}{s}$.

Ваши данные состоят из времени и позиций, измеренных в это время . Ваше начальное положение и скорость в$t = 0$равна нулю на протяжении всего движения . Следовательно (в этом конкретном упражнении) все, что у вас осталось, это:

$$s(t) = \frac{1}{2}at^2$$

РЕДАКТИРОВАТЬ: я сделал предположение, что объект в движении начинается с состояния покоя. Об этом прямо не говорилось. Если бы вы знали начальную скорость, вы бы использовали ее для$v_0$.