Каково математическое доказательство "чистой скорости"?

То, с чем вы здесь имеете дело, обычно называют относительной скоростью . Честно говоря, я никогда раньше не слышал термина чистая скорость , и мне кажется неправильным говорить о нескольких скоростях, «действующих» на объект.

Скорее, у объекта есть только одна единственная скорость. Мы можем говорить о компонентах его вектора скорости, если захотим, но это все.

Относительная скорость в нерелятивистском смысле (для не слишком высокой скорости) - это просто скорость, видимая из разных кадров, и это просто разница. Вы считаете скорость какого-то другого объекта, а затем вычитаете свою собственную скорость «на расстоянии».

• Если вы плывете по купальному кольцу вниз по течению со скоростью течения, то вы пройдете вверх по течению парусную лодку с разницей ваших скоростей. Не забудьте включить знаки, и тогда это простое вычитание:

  $$v_\text{of boat relative to you}=v_\text{boat} - v_\text{you}=v_\text{boat} - v_\text{stream}.$$ Этот расчет верен для любой системы отсчета, то есть для скоростей, измеренных в любой системе отсчета (все еще предполагая не слишком высокие скорости).

• Если вы стоите на земле, то лодка будет проходить и вас с относительной скоростью:

  $$v_\text{of boat relative to you}=v_\text{boat} - v_\text{you}=v_\text{boat}.$$ Последнее уменьшение можно сделать, когда скорости измеряются от наземной системы отсчета, где ваша собственная скорость равна нулю.

Простая математическая основа для определения относительных величин

Поскольку все положения, скорости и скорости относительны (т. е. нет абсолютной системы отсчета, о которой мы знаем), нам нужен структурированный подход для описания этих величин. Мы можем использовать векторы для описания этих величин. Не вдаваясь в формальную линейную алгебру, давайте сначала рассмотрим позиции. На этом рисунке показаны 3 точки в декартовой геометрии, а соединяющие их стрелки представляют векторы относительного положения. Стрелка, указывающая на B из A , представляет собой положение B относительно A , и в обозначениях мы будем называть это$\vec{r}_{BA}$. Две другие стрелки/векторы будут$\vec{r}_{CB}$и$\vec{r}_{AC}$.

Геометрически мы видим, что

Это означает, что если мы знаем положение объекта A относительно C и C относительно B , мы можем вычислить положение B относительно A :

Теперь мы можем вычислить скорость A относительно B , взяв производную по времени от обеих частей уравнения (1):

Мы применим это к вашей задаче, сказав, что A — это лодка, B — наблюдатель на берегу, а C — вода:

Для одномерного движения, если скорость лодки относительно воды равна$+V_b$а скорость воды относительно берега равна$-V_w$, то скорость лодки относительно берега равна$V_b-V_w$.

Понятие скорости зависит от наблюдателя. Если вы находитесь на берегу реки и видите, что кто-то на лодке плывет против течения с таким темпом, что получится, например, 3 м/с на спокойном озере, а если река течет со скоростью 2 м/с, то логично, что вы поймете, что лодка будет двигаться со скоростью 1 м/с. Однако, если вы находитесь в лодке, лодка кажется вам неподвижной, а наблюдатель на берегу — это тот, кого вы воспринимаете как движущегося (на самом деле вся береговая линия движется с этой точки зрения). Итак, чтобы повторить, эта чистая скорость, которая вас интересует, зависит от наблюдателя.

Я согласен с вами, что это не ясно. Он основан на идее, что применимые здесь законы физики (ньютоновская механика, гидромеханика) являются инвариантами Галилея. Какие они. Таким образом, вы просто перемещаетесь в оставшуюся часть потока, настраиваете скорость лодки там, а затем возвращаетесь обратно.

Можно видеть, что это предположение действительно сделано, поскольку оно не следует для релятивистских ситуаций.

Я отвечаю на свой вопрос, поскольку я думаю, что правильно понял это:

Когда лодка плывет вверх по течению; скажем, скорость лодки$v_b$(в стоячей воде) скорость течения$-v_s$. Теперь пойдем по тихой воде, через время$t$водоизмещение лодки$d_b= v_bt$. После того, как лодка прошла это расстояние, поток движется назад, а поскольку лодка находится в потоке, она возвращается на то же расстояние, что и поток, поэтому смещение лодки теперь равно смещению потока, т.е.$d_s=-v_st$. Таким образом, окончательное перемещение лодки от начального положения равно

Мы наблюдаем это как конечную скорость как интервал времени между пройденным лодкой расстоянием$d_b$а затем двигаясь назад по$d_s$является$0$т. е. «движение вперед» и «возвращение» происходят одновременно, и то, что мы наблюдаем, есть конечное перемещение, деленное на затраченное время.

Предположим, у нас есть ряд буев, плавающих в воде, каждый на метр ниже по течению от последнего (предположим, что течение достаточно стабильно, чтобы они оставались в одном и том же относительном положении друг от друга). Предположим, что в 0 секунд лодка находится на буе 0, и обеим координатам x присваивается 0 м. В 1 с лодка находится у буя 5. Итак, относительно воды лодка движется со скоростью 5 м/с. В момент времени 0 сек буй 5 находился на высоте х = 5 м. Если скорость течения реки 1 м/с, то в момент времени 1 с буй 5 находится на высоте х = 6 м. Итак, лодка прошла 6 м за 1 с со скоростью 6 м/с, что равно скорости течения плюс скорость лодки относительно воды.

В какой-то степени «относительная скорость» — это, по определению , общая скорость за вычетом скорости объекта, к которому он относится, поэтому отсюда следует, что общая скорость — это относительная скорость плюс скорость объекта, к которому он относится. Один из способов представления вектора положения состоит в том, что это вектор смещения между исходной точкой и рассматриваемой точкой. То есть, учитывая точку$A$,$\vec A= A-O$(в математических терминах векторное пространство можно определить из аффинного пространства, указав исходную точку). Обратите внимание, что$A$и$O$являются фактическими точками, в то время как$\vec A$является вектором положения. Если мы хотим найти скорость, не имеет значения, какую точку мы выбираем в качестве начала координат, если она непротиворечива, потому что скорость рассчитывается с точки зрения разницы векторов положения.$\vec v = (\vec p_f - \vec p_i)/(t_f-t_i)$и$\vec p_f - \vec p_i = (P_f-O)-(P_i-O)=P_f-P_i$, так$O$отменяет. Однако если мы измеряем положение относительно течения, то исходная точка движется вместе с течением, поэтому мы имеем два разных$O$, так что у нас есть$(P_f-O_f)-(P_i-O_i)=(P_f-P_i)-(O_f-O_i)$

Вычисление скорости относительно течения отличается от вычисления скорости в текущей системе отсчета. При скоростях, с которыми вы столкнетесь с реками, они в конечном итоге будут очень близки к одному и тому же, но при релятивистских скоростях они будут другими.

Я думаю, что нет математического «доказательства», почему чистая скорость должна быть векторной суммой отдельных скоростей. Может и не быть. Для повседневных ситуаций мы наблюдаем, что это обычно происходит в реальном мире. Однако когда скорость становится намного выше (приближается к скорости света), то векторное сложение скоростей оказывается ложным. Так что это действительно проблема теории физики, и ее нельзя доказать с помощью математики.

Изменение системы отсчета на подвижную систему координат известно как ускорение . То, что бусты должны складываться, как вы говорите (векторное сложение), является постулатом нерелятивистской классической механики. Говоря техническим языком, нерелятивистская классическая механика предполагает, что физика инвариантна относительно действия группы Галилея.

Другими словами, вы не можете надеяться доказать эту взаимосвязь, потому что это фундаментальное предположение. Как позже узнали физики, это предположение не согласуется даже с наблюдениями. Оказывается, физика на самом деле (локально) инвариантна относительно действия группы Пуанкаре. Здесь ситуация намного сложнее. Вместо простого сложения векторов мы можем обнаружить, что два усиления составляются, чтобы дать нам усиление плюс вращение.