Как рассчитать усилие, необходимое для изменения маховика (вращающегося) на угол 180 градусов или другой угол?

Ответ на ваш вопрос заключается в том, что не существует минимальной силы, необходимой для создания необходимого вращения.
Что вам нужно, так это крутящий момент, чтобы начать вращение маховика вокруг вертикальной оси, а затем в подходящее время, когда необходимый угол будет достигнут, вам нужно отключить крутящий момент.
Величина прикладываемых крутящих моментов и, следовательно, сил будет зависеть от того, насколько быстро вы хотите изменить угол.
Чем больше крутящий момент и сила, тем быстрее будет изменение.

На левой диаграмме крутящий момент$\tau$обеспечивается парой величин$Fd$где$d$это перпендикулярное расстояние между линиями действия двух сил.

Теперь вы можете подумать, что направления сил (параллельно вертикальной оси, вокруг которой вы хотите вращать маховик) и, следовательно, крутящий момент неверны; это не так и для многих совершенно нелогично.

Я опустил векторные обозначения на своих диаграммах, чтобы сделать их более ясными.

На правой диаграмме угловая скорость маховика равна$\vec \omega$и вы хотите повернуть маховик вокруг вертикальной оси так, чтобы его новая угловая скорость была$\vec \omega +\Delta \vec \omega$причем величины обеих этих угловых скоростей одинаковы.
Начальная угловая скорость, конечная угловая скорость и изменение угловой скорости$\Delta \vec \omega$все находятся в плоскости, ортогональной оси вращения.

Теперь направление изменения угловой скорости представляет собой вращение по часовой стрелке (правило правой руки), если смотреть справа на диаграмме, и это также направление крутящего момента, создаваемого парой.

Таким образом, вы прикладываете крутящий момент к системе, позволяете маховику повернуться на соответствующую величину, а затем отключаете крутящий момент.
Применение большей силы/крутящего момента позволит быстрее привести маховик в конечное положение.

На самом деле маховик действует как гироскоп, подвергающийся прецессии, которую профессор Левин называет самой неинтуитивной частью механики, и я предлагаю вам просмотреть это видео примерно с 14:00 для дальнейшего понимания?
В видео одной из сил, создающих крутящий момент на велосипедном колесе, является направленный вниз вес колеса, а другой — направленная вверх сила, с которой веревка действует на ось колеса.

Решите это по аналогии с телом поступательным (не вращающимся). Его линейный импульс$p$является:

$$p=mv$$

С$m$масса и$v$линейная скорость.

Возьмем производную по времени от обеих сторон:

$$\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}=ma=F$$

Для чисто вращающегося тела вектор углового момента равен$\vec{L}$:

$$\vec{L}=I\vec{\omega}$$

Где$\vec{\omega}$- вектор угловой скорости и$I$момент инерции относительно оси вращения.

Возьмем производную по времени от обеих сторон:

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=I\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\vec{\tau}$$ Где $\vec{\tau}$- вектор крутящего момента , необходимый для изменения направления вектора углового момента. $\vec{\omega}$.

В скалярной записи мы можем написать:

$$\tau=\alpha I$$

Где$\alpha$скорость изменения направления$\vec{\omega}$вектор в$\mathrm{radians/s}$. Если вы хотите, чтобы маховик менял свою плоскость вращения только медленно, тогда требуется лишь небольшой крутящий момент, но более быстрые изменения требуют более высокого крутящего момента.

Обратите внимание, что мы не можем, как вы намекаете на своем рисунке, приложить силу к оси: только крутящий момент может заставить ось вращаться.