Как разложение Гордона тока Дирака приводит к возникновению спинового углового момента?

Как разложение Гордона тока Дирака приводит к возникновению спинового углового момента?

Я использовал разложение Гордона, чтобы разделить ток вероятности поля Дирака на его орбитальный ток и его спиновый ток. Я умножил токи на$mc$преобразовать их в импульс, а затем скрестить импульс с положением, чтобы получить орбитальный угловой момент и спиновой угловой момент. Однако спиновой момент импульса был в два раза больше принятого значения спинового момента импульса. Я застрял на том, как избавиться от дополнительного фактора два.

Разложение Гордона разбивает ток вероятности на два члена.

$$\begin{align} mc\langle \gamma^{0n} \rangle = \langle \gamma^{0} i\hbar \partial^{n} \rangle + \tfrac{\hbar}{2}\partial_{j}\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} , \end{align}$$ где $\langle \gamma^{0} i\hbar \partial^{n} \rangle$выглядит как ток орбитального импульса и $\tfrac{\hbar}{2}\partial_{j}\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j}$похоже на ток спинового импульса?

Угловые моменты$mc\langle \gamma^{0n} \rangle$можно вычислить, скрестив then с position, чтобы получить следующее:

$$\begin{align} mc \left( x^m\langle \gamma^{0n} \rangle - x^n\langle \gamma^{0m} \rangle \right) = \langle \gamma^{0} i\hbar (x^m\partial^{n}-x^n\partial^{m}) \rangle + \tfrac{\hbar}{2}\partial_{j} \left( x^m\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} - x^m\langle i\gamma^{0nj} \rangle_{n\neq j} \right) , \end{align}$$