Где квантовые поля кодируют информацию о спине?

Я знаю, что в основном разница между полем Клейна-Гордона и полем Дирака заключается в вращении. Но я не уверен, где нам нужно реализовать эту информацию.

Решениями обоих уравнений являются волновые пакеты, включающие в себя сумму операторов рождения и уничтожения.

Ψ ( Икс ) "=" ∫ [ а п е − я п Икс + а п † е я п Икс ] г 3 п .

где мы используем спиновую информацию? Почему я должен использовать Клейна Гордона для спина-0 и уравнение Дирака для 1/2?

Это разложение по модам не выполняется для решений уравнения Дирака. При этом плоские волны являются спинорами вида ты ( п ) е я п Икс где ты ( п ) является четырехкомпонентным спинором и кодирует информацию о спине плоской волны. Затем разложение по модам включает сумму по этим плоским волнам и обычные операторы рождения и уничтожения.

Ответы (1)

Написанное вами импульсное разложение справедливо только для скалярного (бесспинового) реального поля, удовлетворяющего уравнению Клейна-Гордона.

При рассмотрении поля со спином, такого как спин- 1 / 2 поле , удовлетворяющее уравнению Дирака , необходимо включить векторы поляризации , получив нечто вида

ψ α ( Икс ) "=" ∑ п , с Н с , п [ с с ( п ) ты α ( с , п ) е − я п Икс + г с † ( п ) в α ( с , п ) е я п Икс ]
ψ ¯ α ( Икс ) "=" ∑ п , с Н с , п [ с с † ( п ) ты ¯ α ( с , п ) е я п Икс + г с ( п ) в ¯ α ( с , п ) е − я п Икс ]
где с , с † и г , г † соответственно операторы уничтожения/рождения частиц и соответствующих античастиц, ты , в — векторы поляризации, кодирующие информацию о спине, и Н с , п коэффициенты нормализации в зависимости от используемого соглашения. Сумма распространяется на весь импульс ( п ) и спина ( с ) собственные состояния. Объекты, которые я обозначил ты е − я п Икс и в е я п Икс называются спинорами Дирака . Они имеют четыре компонента , что отражает тот факт, что поле Дирака описывает как электрон, так и позитрон, каждый из которых имеет 2 спиновые степени свободы (в сумме 2 + 2 "=" 4 степени свободы).

Другими словами, спиновая информация закодирована в дополнительных степенях свободы поля , в данном случае спиновом индексе, который я обозначил α . Эти дополнительные степени свободы не развиваются независимо, как вы можете видеть из (свободного) уравнения Дирака, которое явно показывает спинорные индексы:

( я γ α β мю ∂ мю − м дельта α β ) ψ β ( Икс ) "=" 0 , ∀ α "=" 1 , 2 , 3 , 4 ,
где γ мю гамма -матрицы и сумма по спин-индексу β является неявным.

В качестве другого примера вы можете посмотреть на поля со спином 1 (например, фотоны ). В этом случае квантовое поле обозначается А мю ( Икс ) с мю векторный индекс, который является индексом спина для полей со спином 1. Разложение теперь имеет вид:

А мю ( Икс ) "=" ∑ п , с Н с , п [ а ( с , п ) ε мю ( с , п ) е − я п Икс + а † ( с , п ) ε мю * ( с , п ) е я п Икс ] .
Снова, с обозначает спиновые состояния (которые в этом контексте обычно называют состояниями поляризации), а ε – векторы поляризации.

Наконец, обратите внимание, что каждая компонента спина поля Дирака удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона:

( ◻ + м 2 ) ψ α ( Икс ) "=" 0 , ∀ α
Отличное объяснение этому можно найти здесь .

Связанные обсуждения:

Итак, для спина 1/2 α должно быть 1 или 2, я имею в виду условия вращения вверх и вниз, верно? и «u» будет линейным независимым вектором, включая условия вверх и вниз? Спасибо..
@Major_Tom Я отредактировал ответ, чтобы ответить на этот вопрос. ты α ( с , п ) е − я п Икс это α компонент спинора Дирака, описывающий электрон с импульсом п и вращаться с . Это четырехкомпонентный объект, несмотря на то, что они описывают две спиновые степени свободы. Посмотрите на статью в Википедии, на которую я дал ссылку, чтобы увидеть их явные выражения.
Где квантовые поля кодируют информацию о спине?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v