Интерпретация компонентов спинора Дирака в киральном представлении?

Насколько мне удалось установить, вообще невозможно интерпретировать различные решения уравнения Дирака как соответствующие «электронным решениям» или «позитронным решениям».

Для массивных фермионов мы можем идентифицировать четыре независимых спинора, которые соответствуют частице с 4-импульсом$p$. В представлении Дирака у нас есть два решения, соответствующие анзацу$u(p) e^{- i p \cdot x}$, которые для покоящихся частиц принимают вид:

$$u_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Говорят, что они соответствуют соответственно электрону со спином вверх и электрону со спином вниз. Имеются также два решения, соответствующие анзацу $v(p)e^{i p \cdot x}$, которые для покоящихся частиц равны: $$v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,.$$ Говорят, что они соответствуют соответственно позитрону со спином вниз и позитрону со спином вверх. Вроде все хорошо, но теперь давайте повторим этот рецепт с безмассовыми фермионами. Мы будем использовать представление Вейля и предположим, что наш 3-импульс направлен вдоль положительной оси. $z$-ось. С нашим начальным анзацем мы находим, что уравнение Дирака сводится к: $$(\gamma^0 - \gamma^3)u(p) = 0 \,.$$ Однако с нашим вторым анзацем уравнение Дирака сводится к тому же самому: $$(\gamma^0 - \gamma^3)v(p) = 0 \,.$$ Эти уравнения не были бы тождественны, если бы $m \neq 0$. Есть только два независимых решения: $$u_1 = v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Следовательно, мы не можем просто интерпретировать конкретный спинор как соответствующий, скажем, «электрону со спином вверх», потому что тот же самый спинор также должен был бы соответствовать «позитрону со спином вниз».

Ожидание, что мы должны были найти четыре решения — по одному для четырех возможных вариантов выбора вверх/вниз и частица/античастица — кажется мне ошибочным, потому что античастицы — это лишь осмысленное понятие в квантовой теории, и в них нет необходимости. соответствуют независимым спинорам в классической теории. В качестве иллюстрации, теория с двумя фермионами одинаковой массы, но разными в остальном, будет иметь восемь различных квантовых состояний для каждого выбора импульса, но вы, конечно, не найдете восемь различных спинорных решений классических уравнений. Ваш раскручивающийся «электрон» и раскручивающийся «мюон» описываются одним и тем же спинором, но это не делает их одним и тем же состоянием!

Геристически это сводится к тому, что преобразование четности (P) меняет знак$\gamma$матрицы, а КТ крутится$\gamma^\mu\to-\left(\gamma^\mu\right)^T$. Это снова эквивалентные представления алгебры Дирака, и сплетники обычно называются$\gamma^5$а также$C$. Обратите внимание, что преобразования C и T сами по себе не являются симметриями алгебры Дирака.

Вы, кажется, используете соглашение, в котором$\gamma$матрицы состоят из матриц Паули,

$$\gamma=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu\\\bar\sigma^\mu&0\end{pmatrix}\,.$$ Здесь,$\sigma^\mu=\left(\mathbb I,\sigma^i\right)$а также$\bar\sigma^\mu=\left(\mathbb I,-\sigma^i\right)$. ($\mathbb I$является единичной матрицей - я не могу получить правильный двойной штрих 1). затем $$\gamma^5=\text{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =\begin{pmatrix}\mathbb I&0\\0&-\mathbb I\end{pmatrix}\,,$$ и киральные проекторы$P_{L/R}=\frac{1}{2}\left(1\pm\gamma^5\right)$спроецировать на верхнюю и нижнюю две компоненты четырехспинора. Следовательно, киральные спиноры $$\Psi_L=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\0\end{pmatrix}\quad\text{ and }\quad\Phi_R=\begin{pmatrix}0\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$ (Размещение индексов и различные знаки являются условными.) Их «сопряженные заряды» $$\left(\Psi_L\right)^c=C\overline{\Psi_L}^T=\begin{pmatrix}0\\\bar\chi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}$$ и аналогичные для$\Phi_R$. Вы видите, что это меняет хиральность, но также и заряд: заряды определяются преобразованием при некотором$U(1)$, а поскольку задействовано комплексное сопряжение, преобразование происходит в обратном порядке. Для неабелевых групп вы попадаете в сопряженное представление. В обоих случаях вы получите объект с зарядом, противоположным исходному. Следовательно, майорановский спинор, т. е. спинор Дирака, равный своему зарядово-сопряженному, не может иметь$U(1)$заряжать (или быть в нереальном представлении). Кроме того, такой спинор может быть одинаково хорошо описан одним левым (или правым) спинором Вейля. (Обратите внимание, что это отличается в шести или десяти измерениях, где зарядовое сопряжение не меняет хиральность.)

Таким образом, для описания электрона (на самом деле, игрушечной версии только с электрическими и без слабых зарядов) вы можете использовать два левохиральных спинора,$\chi_\alpha$а также$\xi_\alpha$, противоположного заряда или один четырехкомпонентный объект

$$\Psi=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$