Как коммутировать угловой момент и спин в уравнении Дирака?

В моей задаче я смотрю на спин-$\frac{1}{2}$заряд частицы q, который представлен некоторым спинором Дирака$\Psi$решение уравнения Дирака

$$i\partial_t\Psi = \hat{H}\Psi$$ с заданным оператором Дирака $\hat{H} := c\alpha_i(\hat{p} - \frac{q}{c}A^i) + \beta mc^2+\mathbb{1_{4x4}}q\Phi$, где $\alpha_i=\left(\begin{matrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \\ \end{matrix}\right)$и $\beta=\left(\begin{matrix} \mathbb{1_{4x4}} & 0 \\ 0 & -\mathbb{1_{4x4}} \\ \end{matrix}\right)$с помощью матриц Паули $\sigma_i$и единичная матрица 4x4 $\mathbb{1_{4x4}}$.

Исходная задача состоит в том, чтобы показать коммутационные соотношения$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^j\right]=i\epsilon^{ijk}\hat{J}^k$,$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^2\right]=0$. Отображение первого должно автоматически привести к отображению второго с некоторыми правилами коммутации, но моя проблема связана с$\hat{J}^i:= \mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i+\hat{S}^i$, я вычислил:

$$\left[\hat{J}^i,\hat{J}^j\right]=\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i+\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j+\hat{S}^j\right]$$ теперь, используя коммутационное соотношение $$\left[A+B,C+D\right] = \left[A,C+D\right] +\left[B,C+D\right]= \left[A,C\right]+\left[A,D\right] +\left[B,C\right] +\left[B,D\right]$$ Я получаю четыре термина: $$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]+\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\hat{S}^j\right]+\left[\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]+\left[\hat{S}^i,\hat{S}^j\right]$$ определение $\hat{L}^i:= \epsilon_{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k$и $\hat{S}^i:=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \\ \end{matrix}\right)$, следует: $$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]=i\epsilon^{ijk}\hat{L}^k\text{ and }\left[\hat{S}^i,\hat{S}^j\right]=\frac{1}{2}i\hbar^2\sum_{k=1}^3\epsilon^{ijk}\sigma^k\mathbb{1_{2x2}}$$

Моя проблема теперь связана со смешанными коммутациями$\left[\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^i,\hat{S}^j\right]$,$\left[\hat{S}^i,\mathbb{1_{4x4}}\hat{L}^j\right]$, которые сводятся к чему-то вроде$\left[\epsilon^{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k,\sigma^i\right]$. Я подумал о том, чтобы сказать, что переключение аргументов коммутатора должно давать знак минус, а смешанные члены отменяют друг друга. Это может быть достигнуто путем переключения индексов в символе levi-civita ($\epsilon^{ijk}=-\epsilon^{jik}$) после переименования i в j и наоборот. Я действительно не знаю, смогу ли я это сделать, и даже когда я делаю это, я не получаю правильных результатов. Вычисление коммутаторов напрямую кажется мне трудным, ибо я не знаю, как решить$\left[\epsilon^{ijk}\hat{x}^j\hat{p}^k,\sigma^i\right]$. Я надеюсь, что моя проблема изложена достаточно ясно, и намек на то, что мне не хватает, был бы замечательным.

Это мой первый пост, поэтому советы по размещению всегда приветствуются. Спасибо!