Общее определение вектора, спинора и спина

Все зависит от того, как преобразуются ваши поля (векторы и спиноры — это поля в классической теории, а при квантовании в КТП они становятся операторнозначными полями) при преобразовании Лоренца:

• Скаляр — это поле , которое вообще не меняется:$\phi'(x') = \phi(x)$. Примерами являются Хиггс и пионы.

• Векторное поле — это поле, которое преобразуется подобно релятивистскому четырехвекторному$A'_\mu (x') = {\Lambda^\nu}_\mu A_\nu(x)$, где$\Lambda$является преобразованием Лоренца. Примерами являются электромагнитное поле (фотоны) и глюоны.

• Преобразование спинорного поля с использованием другого набора матриц

  $$\psi'(x') = \exp\left[(-i \vec{\theta} \pm\vec{\eta}) \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2}\right] \psi(x)$$ где$\vec{\theta}$- углы поворота вдоль осей,$\vec{\eta}$быстрота и$\vec{\sigma}$матрицы Паули. Как видите, матрицы Паули — это матрицы 2x2, поэтому это преобразование действует на объекты с двумя компонентами — спинорами Вейля . Я написал два знака,$\pm$, потому что есть два типа преобразований, которые действуют на два типа спиноров:$-$для левшей спиноров$\psi_L$и$+$для праворуких спиноров$\psi_R$. Но у спиноров Вейля есть две проблемы: когда вы делаете преобразование четности ($\vec{r} \to -\vec{r}$), спиноры меняют свою ручность , и мы знаем, что КЭД и КХД инвариантны относительно четности. И второе, как вы говорите, состоит в том, что поля Вейля должны быть безмассовыми.

• Спинор Дирака решает обе проблемы. Это просто (в киральном представлении) левый и правый спиноры Вейля рядом.

  $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix}$$ Спинор Дирака может иметь массу (хотя безмассовые спиноры Дирака подходят). Электроны, мюоны, тау, нейтрино и кварки описываются полями Дирака.

• Спинор Майорана — это особый спинор Дирака, в котором левая и правая части не являются независимыми. Это соотношение означает, что майорановская частица равна своей античастице. Следовательно, майорановское поле не имеет электрического заряда. Хотя вам нужен только один спинор Вейля, чтобы определить майорановский спинор, майорановские поля все же могут иметь массу. Предполагается, что нейтрино могут быть майорановскими частицами (есть несколько экспериментов, исследующих это).

Так где спин? Угловой момент - сохраняющаяся величина, связанная с вращениями. Когда вы применяете теорему Нетера к полю, вы получаете два члена: один зависит от движения частиц (орбитальный угловой момент), а другой нет (спин ) . Спиновая часть связана с типом преобразования Лоренца, которое использует поле: в скалярных полях нет спинового члена (у них спин 0), в спинорных полях это представление вращений размерности 2 (спин 1/2), а в векторных полях представление вращений размерности 3 (спин 1).