Как разрешается классический парадокс близнецов?

Чтобы понять этот парадокс, лучше забыть обо всем, что вы знаете (даже из СТО), потому что все это вызывает только путаницу, и начать с нескольких простых понятий.

Первая из них заключается в том, что пространство-время несет в себе метрику, которая говорит вам, как измерять расстояние и время. В случае SR эта метрика предельно проста и можно ввести простые$x$,$t$координаты (буду работать в 1+1 и$c = 1$), в котором пространственно-временной интервал выглядит так

Давайте посмотрим, как это работает на этом простом дудле, который я собрал.

Вертикальное направление подобно времени, а горизонтальное пространственно-подобно. Например, синяя линия имеет "длину"$ds_1^2 = -20^2 = -400$в квадратных единицах изображения (обратите внимание на знак минус, который соответствует времениподобному направлению), а каждая из красных линий имеет нулевую длину (они представляют траектории света).

Длина зеленой линии$ds_2^2 = -20^2 + 10^2 = -300$. Чтобы вычислить правильное время вдоль этих траекторий, вы можете использовать$d\tau^2 = -ds^2$. Мы видим, что поездка займет у зеленого близнеца меньше времени, чем у синего близнеца. Другими словами, зеленый близнец будет моложе.

В более общем смысле любой изогнутый путь, который вы можете себе представить между верхом и низом, займет меньше времени, чем синий путь. Это связано с тем, что времяподобные геодезические (которые представляют собой просто направленные вверх прямые линии в пространстве Минковского) между двумя точками максимизируют собственное время. По сути, можно увидеть, что это возникает из-за того, что любое отклонение от прямой линии вызовет ненужные пространственно-подобные вклады в пространственно-временной интервал.

Как видите, никакого парадокса не было, потому что мы относились к задаче так, как она есть на самом деле: к вычислению собственного времени общих траекторий. Обратите внимание, что это единственный способ подойти к такого рода проблемам в GR. В СТО другие подходы из-за его однородности и плоскостности и при аккуратном выполнении приводят к тем же результатам. Просто люди часто недостаточно осторожны, и это приводит к парадоксам. Так что, на мой взгляд, здесь полезно извлечь урок из GR и забыть обо всех этих специальных вычислениях SR.

Просто чтобы дать вам представление о том, как может выглядеть вычисление СР: из-за глобальных координат у людей возникает соблазн описывать также и отдаленные явления (что на самом деле не имеет смысла, физика всегда только локальна). Таким образом, синий близнец может решить вычислить возраст зеленого близнеца. Это будет хорошо работать, потому что это находится в инерциальной системе отсчета, поэтому мы придем к тому же результату, что и мы.

Но зеленый близнец придет к странным выводам. Обе прямые линии его траектории будут работать нормально, и если бы не поворот, синий близнец должен был бы быть моложе и с точки зрения зеленого близнеца. Таким образом, зеленый близнец должен сделать вывод, что тот факт, что синий близнец находился в сильном гравитационном поле (которое эквивалентно ускорению, заставляющему зеленого близнеца поворачиваться), делает его старше . Это дает математически правильный результат (при тщательном расчете), но, конечно, физически это полная ерунда. Вы просто не можете ожидать, что ваше локальное ускорение как-то повлияет на удаленного наблюдателя. Здесь необходимо принять во внимание (и это слишком хорошо проясняет ОТО), что вы никогда не должны пытаться говорить об удаленных объектах.

«Парадокс» в парадоксе близнецов заключается в том, что наивный взгляд на проблему предполагает, что ситуация должна быть совершенно симметричной: каждый близнец должен верить, что он или она действительно находится в покое, а другой близнец — это тот, кто движется. на высокой скорости затем возвращается. Однако это неверно, потому что одна из двух обязательно ускоряется, что дает возможность различать две системы отсчета.

Вы можете понять разницу во времени полностью из специальной теории относительности, не прибегая к общей теории относительности. Вы можете легко найти в Google дюжину различных объяснений того, как это работает, но лучшее, что я видел, это, вероятно, объяснение в « Иллюстрированном руководстве по теории относительности » Тацу Такеучи . К сожалению, это проиллюстрировано, а не онлайн, и я не в состоянии воспроизвести его здесь, но на него стоит посмотреть.

Проблема, которую необходимо решить, заключается в том, что оба близнеца должны видеть, что часы другого идут медленнее во время путешествия, но каким-то образом движущийся близнец должен в конечном итоге видеть меньше времени, чем близнец, привязанный к Земле. Разрешение, очень грубо, состоит в том, что в движущейся системе отсчета близнеца на обратном пути точка отправления находится намного дальше в прошлом, поэтому путешествие продолжается в течение более длительного времени. Наблюдатель, который всегда находился в этом кадре (скажем, капитан межзвездного транспорта, на котором близнец едет автостопом), сказал бы, что земные часы всегда отставали, но они идут гораздо дольше, чем можно предположить по внутренним часам близнеца. .

Детали, однако, несколько тонкие, поэтому через Google доступны десятки полупротиворечивых объяснений. Однако важно отметить, что это не тот случай, когда ускорение вызывает разницу между часами (в этом случае вам может понадобиться GR для его обработки). Именно переходы между системами отсчета приводят к различию, а не само ускорение, и вы можете получить разницу между часами, подобную парадоксу близнецов, даже если оба близнеца испытывают точно такое же ускорение, как показано в этой статье в Американском журнале физики. .

Карло Ровелли интуитивно объясняет, почему нужна только СТО, в своей новой книге «Порядок времени» :

«В движении» по отношению к чему? Как мы можем определить, какой из двух объектов движется, если движение только относительное? Это вопрос, который смущает многих. Правильный ответ (редко дается) таков: в движении относительно единственной точки отсчета, в которой точка в пространстве, где двое часов расходятся, является той же точкой в ​​пространстве, где они снова собираются вместе. Между двумя событиями в пространстве-времени, от А до В, есть только одна прямая линия: та, вдоль которой время максимально, и скорость относительно этой линии та, которая замедляет время. Если часы расходятся и не собираются снова, то нет смысла спрашивать, какие из них спешат, а какие медленнее. Если они собираются вместе, их можно сравнивать, и скорость каждого из них становится четко определенным понятием.

Вам не нужно прибегать к ОТО для объяснения парадокса близнецов — вам нужно ОТО только тогда, когда необходимо учитывать эффекты, связанные с искривлением пространства-времени.

Парадокс близнецов просто отражает факт геометрии плоского пространства-времени, а именно то, что время, прошедшее на прямом пути между двумя событиями, всегда больше, чем время, прошедшее на любом другом пути. В классическом парадоксе близнецов один из близнецов следует прямому пути между началом и концом, а другой — нет, в результате чего первый близнец переживает большее прошедшее время.

Вопрос: что вы подразумеваете под "классическим"? Для меня Классический Парадокс Близнецов — это то, что Эйнштейн назвал Парадоксом Часов, т. е. версия без каких-либо ускорений . И этот парадокс так и не был разрешен.

Если в ситуации нет ускорений, то весь парадокс следует только из простого уравнения для замедления времени:

Как мы видим, существует только постоянная$v$там, и все же одни из часов должны быть замедлены время.

Если кто-то говорит, что космическое путешествие требует ускорения космического корабля, то он абсолютно прав. Дело в том, что любое замедление времени из-за ускорения идет только поверх замедления из-за постоянного$v$.

Мы можем просто представить, что оба близнеца отправляются в космическое путешествие на разных космических кораблях и путешествуют в противоположных направлениях. В таком случае мы можем легко предположить, что они оба испытывают точно такие же ускорения, которые эффективно «уравновешивают» друг друга. И все же у нас все еще есть парадокс, возникающий из-за замедления времени между инерциальными системами отсчета. Приведенное выше уравнение остается в силе. Поэтому нам необходимо ответить на вопрос: Кто из близнецов младше и почему?

Как видите, введение ускорений лишь маскирует настоящий парадокс, а не решает его. И, возможно, поэтому никто не решает парадокс с действительными числами. Потому что если вы произведете реальные расчеты, то сразу увидите, что к замедлению времени из-за постоянной нужно добавить замедление времени из-за ускорения .$v$. Что оставляет другой еще нерешенным.

Чтобы лучше всего проиллюстрировать классический парадокс, мы можем сформулировать его двумя способами:

1) Если один из близнецов действительно станет старше из-за разницы в постоянных$v$, чем фальсифицируется аксиома специальной теории относительности о том, что не существует предпочтительных (инерциальных) систем отсчета. Потому что это означает, что система отсчета с более медленными часами движется относительно другой в абсолютном выражении. Поэтому движение абсолютно .

Кто-то может возразить на это, что я не понимаю СТО, которая позволяет нам перевернуть всю ситуацию, т.е. поменять местами подвижную и неподвижную системы отсчета. Конечно, но тогда у нас есть парадокс 2):

2) Если мы утверждаем, что часы A медленнее часов B, а также что часы B медленнее часов A, то нельзя доказать истинность специальной теории относительности. Ибо в таком случае оба часа отстают друг от друга, что сводится к полному отсутствию замедления реального времени . Если же измеряется разница, то мы возвращаемся к парадоксу 1), т. е. одна из систем отсчета явно предпочтительнее, и, следовательно, мы доказали существование абсолютного движения.

Подводить итоги. У классического (строго инерционного) Парадокса Близнецов нет решения. И еще, любые ускорения парадокса тоже не решают - они его только маскируют.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Профессор Чад Орзел в своем ответе привел эту статью в качестве источника, утверждающего, что расширение в СТО (без ускорений) может быть доказано. Это просто удивительно, так как любой может видеть, что эта статья основана на трюке, когда родители путешествующих близнецов остаются на Земле и видят, что расстояние между ними равно$γx_0$. Однако: 1) расчеты длины в СТО производятся из двух систем отсчета, а не из 3-й, 2) если близнецы движутся в противоположных направлениях (как в моем мысленном эксперименте выше), вы всегда можете утверждать, что другой близнец моложе, и - самое главное - 3) в этой статье показано расширение на основе скорости$v$, и тем не менее между близнецами нет разницы в скорости - они летят в двух ракетах в одном направлении, получив точно такое же ускорение. скорость$v$измеряется от их родительской системы отсчета, т.е. Земли, и автор даже допускает, что высказывание о том, что эффективная скорость между близнецами равна нулю. Теперь, как появился документ, утверждающий замедление времени SR между системами отсчета, стационарными относительно. друг друга (и не ускоренного) принято к публикации?!?! И как получилось, что профессор представил его здесь как источник?!

(И если бы Вондж не нашел эту бесплатную статью, мы могли бы подумать, что какой-то умник доказал недоказуемое. И если бы я заплатил за это, меня бы просто забанили.)

ВНИМАНИЕ: Любые комментарии относительно этой линии рассуждений более чем приветствуются.

Этот ответ представляет собой вариант ответа @Marek, который пытается решить
проблему @vonjd по поводу неинерциального наблюдателя (зеленого цвета)
, пытающегося считаться «инерциальным» (вместо синего инерциального наблюдателя).

Во-первых, как уже говорили другие, для анализа этой проблемы не нужна общая теория относительности. Специальная теория относительности, способная анализировать ситуацию.

Я нарисую пространственно-временную диаграмму на повернутой миллиметровке, чтобы нам было легче вычислить интервал между событиями.

Причинный ромб OZ представляет собой пересечение каузального будущего O и каузального прошлого Z. Времяподобная диагональ OZ имеет длину, равную квадратному корню из площади в единицах сетки, ромбы которой смоделированы по образцу световых сигналов. прослеживается покоящимися световыми часами в этой системе отсчета.

Давайте проверим расчет @Marek.

Считая и используя$(+,-)$-подпись,

• площадь алмаза OZ составляет (20)(20)=400. Итак, времяподобная диагональ OZ имеет размер 20.
• площадь алмаза OQ равна (15)(5)=75, и аналогично для QZ.
  Итак, кусочно-инерционная мировая линия OQZ имеет длину$2\sqrt{75}\approx 17.32$.

Можно утверждать, что$OTZ$также является кусочно-инерционным.
Итак, что делает$OTZ$инерционный и$OQZ$не инерционный?

• Кинематически,$OTZ$инерционна, потому что$O$,$T$, а также$Z$коллинеарны и удовлетворяют:$\sqrt{AreaOZ}=\sqrt{AreaOT}+\sqrt{AreaTZ}=\sqrt{100}+\sqrt{100}=\sqrt{400}$.
• В самом деле, для любого события вдоль$OZ$, например, событие$M$: у нас есть
  $\sqrt{AreaOZ}=\sqrt{AreaOM}+\sqrt{AreaMZ}=\sqrt{49}+\sqrt{169}=\sqrt{400}$).
• Однако для$OQZ$, у нас есть$\sqrt{AreaOQ}+\sqrt{AreaQZ}=\sqrt{75}+\sqrt{75}\neq \sqrt{400}$.
  Так,$OQZ$является неинерционным.

Обратите внимание, что никакие преобразования Лоренца не могут изменить эти результаты.

С$v_{OQ}=\frac{1}{2}$, его доплеровский фактор$k=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$нерационально, поэтому галочки по диагонали нарисовать непросто.

Использование вместо$v_{OR}=\frac{3}{5}$, или же$v_{OS}=\frac{4}{5}$, которые имеют рациональные доплеровские факторы ($k=2$а также$k=3$, соответственно), нам легче рисовать и считать деления вдоль их диагоналей.
Эти бриллианты отслеживаются соответствующими световыми часами.

Обратите внимание, что площадь ромбов световых часов инвариантна, потому что преобразование повышения имеет определитель 1.
Кроме того, Rational$k$связаны с пифагорейскими тройками.

Для связанного аргумента см. Мои ответы на
эквивалентность двух определений собственного времени в специальной теории относительности
https://physics.stackexchange.com/questions/553682/twins-paradox-why-is-one-frame-considered-to-be- ускоряющий кадр
https://physics.stackexchange.com/questions/242043/what-is-the-proper-way-to-explain-the-twin-paradox

В конце концов, урок Парадокса Близнецов заключается в том, что
«способность находиться в покое» ≠ «быть инерционным».

Подробнее об этом подходе см. в моей статье
«Относительность на повернутой миллиметровой бумаге»
American Journal of Physics 84, 344 (2016);
https://doi.org/10.1119/1.4943251
(ранний вариант: https://arxiv.org/abs/1111.7254 )

Проблема заключается в нарушении симметрии, вызванном путешествующим близнецом, когда он меняет направление. Этот разрыв делает двух близнецов отличимыми друг от друга. Перед тем, как путешествующий изменит свое направление, оба думают о своем партнере как о младшем (потому что время в вашей собственной системе всегда является самым быстрым из возможных). Так что, ИМХО, этот парадокс имеет мало общего с общей теорией относительности — специальная теория относительности, конечно, не может описывать ускоренные движения, но действительно важно то, что близнец меняет направление, а не то, как он ускоряется и так далее.

Это легко понять от человека на Земле - он исключил эффект Доплера из уравнения во время наблюдений за космическим кораблем и заметил, что часы на ракетном корабле идут медленно, и подтвердил это, когда корабль вернулся в порт. путем сравнения двух часов.

Наблюдение, по словам путешественника, является своего рода загадкой. Путешественник оглядывается на Землю, убирает эффект Доплера и, по-видимому, видит, что земное время идет медленно. Не отрывая глаз от двух часов, в какой-то момент эффект Доплера, удалённый от времени на Земле, должен ускориться и обогнать часы путешественников. Когда это происходит? - не противоречит ли это тому, чему нас учат?