Как реализовать передаточную функцию с несколькими нулями?

Ответ, перед интересной диверсией:

PID + вторая производная сделает свое дело:

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

С функцией передачи:

$$H(s) = -\frac{R_{11}}{R_6} C_1 R_1 C_2 R_2 s^2 - \frac{R_{11}}{R_7} C_3 R_3 s + \frac{R_{11}}{R_{10}}\frac{R_6}{R_5} + \frac{R_{11}}{R_9} \frac{1}{R_4 C_4 s}$$

Что соответствует вашей передаточной функции:

$$H(s) = As^2 + Bs + C + \frac{D}{s}$$

Вы не упомянули признаки$A$,$B$,$C$и$D$.

Если вы хотите уменьшить количество операционных усилителей, вы можете объединить операционные усилители с ПИД-регулятором в один, используя информацию из этой статьи.

^{смоделируйте эту схему}

С функцией передачи:

$$H(s) = K \frac{(s/z_1 + 1)(s/z_2 + 1)}{s (s/p_1 + 1)(s/p_2 + 1)}$$

Здесь,$p_1$и$p_2$лишние нули. У идеальных ПИД-регуляторов их нет, у ПИД-регуляторов с «фильтрованной производной» есть только$p_1$, и PID "типа 3" имеют оба. См. статью для получения дополнительной информации.

Где:

$$R_1 = Z_{in}\qquad R_2 = \frac{R_1 z_2}{p_1 + z_2}\qquad R_3 = \frac{R_1 p_2 K}{z_1 (p_2 - z_1)}$$

$$C_1 = \frac{p_1-z_2}{R_1 z_2 K}\qquad C_2=\frac{p_2 - z_1}{R_1 p_2 K}\qquad C_3=\frac{z_1}{R_1p_2K}$$

Вы можете выработать необходимые значения.

Теперь о веселом развлечении:

Итак, я думаю, что @Vladimir Cravero прав, передаточная функция с большим количеством нулей, чем полюсов, нефизична.

Физики будут думать об этом с точки зрения восприимчивости в комплексной частотной области (эквивалентной тому, что EE называют передаточной функцией в области Лапласа) и соотношений Крамерса-Кронига (КК), однако это может быть расширено до [области Лапласа]. ] (см. приложение A).

Мы знаем, что теория свертки позволяет нам брать функции отклика во временной области ($h(t) \rightarrow H(s)$) и превратить их в передаточные функции в области Лапласа:

$$H(s)V(s) = \mathcal{L}\left\{ \int_{-\infty}^{t} h(t-\tau)v(\tau)d\tau \right\}$$

Однако мы требуем, чтобы$h(>0)$является$0$, в противном случае передаточная функция реагирует на стимулы, которые еще не произошли. Убедиться в соблюдении этого требования можно, убедившись, что такая функция подчиняется соотношениям КК в области Лапласа.

Отношения KK имеют два требования:

• Аналитичность в правой полуплоскости пространства Лапласа. Это означает отсутствие полюсов в правой полуплоскости.
• $\lim_{s\rightarrow \infty} H(s) = 0$, и, кроме того, стремится к нулю по крайней мере так же быстро, как$1/|s|$. (По-видимому, это можно немного ослабить, но я не уверен, как и насколько.)

Эти требования имеют смысл: у нас не может быть никакого усиления для бесконечной частоты для любой реальной системы (этого требует сохранение энергии), и любые полюса в правой полуплоскости также привели бы к нарушению сохранения энергии, конечные входы привели бы к бесконечная сила в конце концов.

С учетом этих требований соотношения Крамерса-Кронига дают нам связь между действительной и мнимой частями передаточной функции:

$$\Re\{H(s)\} ∝ PV \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Im\{H(s')\}}{s'-s}ds'$$

$$\Im\{H(s)\} ∝ PV \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Re\{H(s')\}}{s'-s}ds'$$

Где$PV$обозначает интеграл основного значения Коши .

В конечном счете, выполнение этого интеграла на самом деле не так важно, но нам нужно убедиться, что передаточные функции подчиняются требованиям соотношений КК.

Для системы, в которой нулей больше, чем полюсов, довольно просто показать, что это не так.

Но ждать! Хотя @Vladimir Cravero в конечном итоге прав, реализация физической передаточной функции с большим количеством нулей, чем полюсов, невозможна, потому что мы нарушим причинно-следственную связь, @Chu также прав, это все время делается с PID-контроллерами. Что дает?

Ответ заключается в том, что ПИД-регуляторы (и все реальные системы) имеют фильтры нижних частот, которые определяют полосу пропускания системы. Порядок этого фильтра нижних частот определяется порядком системы. Для ПИД-регуляторов это отображается в$K_d$,$K_i$и$K_p$ценности. На самом деле у нас нет идеальных операционных усилителей, где это просто цифры, они всегда должны также включать фильтр нижних частот, который дает полосу пропускания операционного усилителя, и это добавляет дополнительный полюс. Кроме того, отклик объекта, которым мы управляем, имеет внутри себя фильтр нижних частот (как и любая физически реализуемая система).

---

Примечания:

• Отношения КК также известны как преобразование Гильберта , которое я обнаружил, проводя исследование для этого поста. Это имя может быть более известным в сообществе EE.

• Не исключено, что здесь опечатки. Также возможно, что существуют (странные) действительно ценные каузальные системы, которые не подчиняются отношениям КК, но все же являются каузальными. Это было бы аналогом неэрмитовых гамильтонианов, которые имеют действительные собственные значения и собственные векторы в квантовой механике. Я не уверен в этом. [править: этот документ следует просмотреть, если вас интересует этот вопрос]

• Это фактически продолжает сохраняться в пределе слабого сигнала для нелинейных систем. Нелинейные отношения КК все еще актуальны, ссылки доступны по запросу.