Согласно Википедии, размер чистой квинты в 1/4 запятой означает, что она «уплощена на одну четверть синтонической запятой по отношению к ее правильной интонации, используемой в пифагорейской настройке (отношение частот 3: 2)». Как именно это делается математически?
Пифагорейская квинта - это отношение 3/2.
Пятая часть в 1/4 запятой означает 5^1/4 (1,495).
Синтоническая запятая 81/80.
Когда я пытаюсь вычислить размер пятой части, я получаю 1,246875 вместо ожидаемых 1,495. Вот как я к этому подхожу: вычитание (81/80 * 1/4) (четверть синтонической запятой) из чистой квинты (3/2). Что я делаю не так?
Математически все, что касается высоты тона, логарифмично. «Добавить чистую квинту» на самом деле означает «умножить высоту тона на 3/2». Таким образом, «вычитание синтонической запятой» означает умножение на обратную величину запятой, а «четверть» означает корень четвертой степени. Итак, попробуйте решить:
... и посмотрите, больше ли это похоже на правильный ответ. (Я не проверял, но 4-й корень по крайней мере легко на калькуляторе). ХТН
С точки зрения частотных отношений «сглаживание» — это не «вычитание», по крайней мере, не математическое вычитание. В том виде, в каком вы это выражаете, средняя квинта тона будет (3/2)/[(81/80)**(1/4)]=1,495... Сокращение достигается делением.
Часто вы хотите думать о вещах с точки зрения центов : логарифмическая мера высоты тона. Работая с ними, умножение и деление (подобно делению в приведенном выше выражении) превращаются в сложение и вычитание; возведение в степень (например, **(1/4) выше) превращается в умножение. Равнотемперированный полутон равен 100 центам; секунда 200; минорная терция 300, и так далее до октавы, равной 1200. Математически значение центов для данного соотношения равно cents = 1200*log2( ratio).
В центах только что интонированная квинта стоит 702 цента; ситоническая запятая - 21 цент; и средняя пятая часть заканчивается на 702-(1/4)*21 = 697. Использование центов делает идею вычитания интервалов друг из друга осмысленной (ха!).
Калеб Хайнс