Равный темперамент как набор правильных интервалов

Недавно я сделал интересное открытие, как получить одинаково темперированные тона, используя стек только интервалов 3/2 и 5/4. Так как они являются частью большинства гармонических струн, мажорное трезвучие должно быть уловлено очень точно.

Ядром моей теории является использование стека из 7 полных квинтов (3/2) и 1 мажорной терции (5/4) для получения единого одинаково темперированного тона.

(3/2)^7 * 5/4 * 1/16 = 1,3348388671875

Отношение должно быть разделено на 16 (или 2 ^ 4), потому что тон, который я ищу, поднялся на 4 октавы вверх.

В этом примере результат - идеальный четвертый. Математическая точность до 5-го знака после запятой. Ошибка 0,00128 цента. Повторение одного и того же стека 11 раз дает окончательную ошибку 11 * 0,00128 = 0,01408 цента.

Я написал статью об этом открытии, но многие музыканты утверждают, что это невозможно с точки зрения акустики, потому что происходит гораздо больше событий, например дисгармония и растяжение октавы. Из-за несовершенства инструментов это остается чисто теоретическим.

https://nearequaltemperament.com/

Хотя это никогда не может быть достигнуто на практике, я считаю, что математика, стоящая за этой теорией, исключительна. Многие корни из 2 можно выразить маленькими долями первых 3 простых чисел (2, 3 и 5). Все от 2 ^ (1/12) до 2 ^ (11/12) может быть вычислено очень точно, если суммировать приведенное выше выражение 11 раз. Обратное соотношение также является законным.

Можно ли настроить фортепиано, используя этот метод укладки 7 P5 и 1 M3? Я ожидаю лучшей точности до 246 раз, но каковы будут фактические результаты?

На данный момент лучшая процедура, которую я могу предложить для настройки, такова:

https://nearequaltemperament.com/inverse-stack/

Достаточно ли он эффективен? Будет ли он накапливать ошибки или он будет безошибочным?

Еще одна грубая процедура, которая доводит процесс настройки до максимума:

https://nearequaltemperament.com/small-scale/

Так как в стеке вдвое меньше шагов, но больше коэффициентов, есть ли возможность сделать это без накопления ошибок?

Здесь есть вопрос? В любом случае, даже несмотря на то, что это с точностью до пятого десятичного знака истинно ровного четвертого, это немного другое. Если вы используете этот интервал в 12-тональной хроматической гамме, результирующие интервалы не будут равными. И тот факт, что вы получили этот интервал, складывая только интервалы, не меняет того факта, что он несколько отличается от просто четверти 4/3. Предположим, вы начинаете с фа и заканчиваете си-бемоль (ну, ля-диез). Если вы используете эти семь сложенных белых нот для своей гаммы, у вас все равно будет пифагорейский строй с его терциями 81:64, а не 5:4.
Я голосую за закрытие этого вопроса, потому что это не вопрос.
Я проголосовал за повторное открытие этого вопроса, потому что теперь он содержит вопрос.
Я думаю, что этот вопрос способствует хорошему обсуждению; однако распределение системы не ясно (мне). Я прочитал связанную страницу. Я не вижу процедуры использования такого приближения. Процедура равной темперации (данная мне настройщиком фортепиано) точно настраивает октавы (с какого-то начала); затем настройте четверти на 2 доли диеза и квинты на одну долю бемоля; другие заметки сделаны из них. Вы можете использовать 89/84 в качестве соотношения (ttw), а не 18/17 (Винченцио Галилей), чтобы приблизить равный темперамент.
Пожалуйста, уточните: ваша процедура состоит в том, чтобы начать с C, настроить на 7 квинт вверх и большую терцию вверх, и где-то в процессе опуститься на 4 октавы, чтобы настроить ноту F. Затем, повторив процедуру от F, настройте Bb, и и так до тех пор, пока не будут настроены все 12 нот?
Основная веб-страница объясняет только концепцию и математику. Процедуры, 3 из них, находятся в дополнительных статьях. На данный момент лучший процесс, который я могу предложить, называется Fast Inverse Stack . Форвардный стек предназначен для обучения/тестирования. Малый стек — это грубая идея для еще большего сокращения шагов, абсолютный предел.
Обратите внимание, что с математической точки зрения это не может быть безошибочным, поскольку 2 ^ (1/12) является иррациональным: его можно оценить , но не вычислить с бесконечной точностью, используя дроби (отсюда и название иррациональное).
@ Том «иррациональный» не означает «невозможный»; например, вы можете создать отрезок длиной ровно √2, создав единичный квадрат и используя его диагональ для определения вашего отрезка. Тот факт, что вы не можете представить его в виде суммы конечного ряда рациональных чисел, не означает, что он не может существовать.
Винкельман: чтобы настроиться от C к F, вы используете промежуточные G, D, A, E, B, F♯ и C♯. Затем, чтобы перейти от F к B♭, вам нужно перенастроить C. Разве это не портит ваш темперамент? Хорошо, вы можете использовать верхний C и перенастроить его позже, но в конце концов вам придется повторно использовать ноты, которые вы уже установили, не так ли?
@phoog Я никогда не говорил, что это невозможно или что оно не выходит, я сказал, что «его нельзя вычислить с бесконечной точностью, используя дроби ». Следовательно, с помощью дроби вычисление этого иррационального числа не может быть безошибочным.
@ Том, я думаю, ты имеешь в виду конечное число дробей. Сумма счетно-бесконечного числа дробей может точно равняться иррациональному числу. Это в основном то, что представляет собой бесконечное десятичное расширение. В любом случае, для сценариев реального мира точность того, что что-либо может быть сделано в реальном мире, ограничена физикой намного раньше математических ограничений. Другими словами, мы не можем точно настроиться на рациональное число не лучше, чем на иррациональное.
@ Том О да. Это правда. Но ошибка, присущая предполагаемой системе, кажется настолько незначительной, что ею, вероятно, можно пренебречь по сравнению с относительно низкой точностью человеческих настройщиков фортепиано.
@ToddWilcox Да, я должен был поставить конечное!
@phoog Я просто придирался ;)
Обратите внимание, что в 12-EDO P5 = 7 полутонов, а M3 = 4 полутона, поэтому 7*P5 + M3 = 53 полутона. Так что кажется, что OP заново открыл приближение P5 = 31/53 октавы с другой точки зрения.

Ответы (1)

Проблема не в математике. Проблема заключается в эффективности алгоритма настройки (или, в зависимости от обстоятельств, в недостаточной эффективности).

Поскольку алгоритм монотонно возрастает (вплоть до октавной коррекции), давайте начнем с настройки самой низкой высоты тона, A0, которую примем как данность.

Поскольку наша цель изначально состоит в том, чтобы как можно точнее настроить все 12 хроматических тонов, мы можем пока отказаться от октавных поправок. Это не повлияет на математику, так как умножение коммутативно. Мы можем сначала сделать все квинты и терции, а потом заняться октавами.

Таким образом, для наиболее точной настройки каждой из четвертей (без учета октавы) требуется 8 операций: 7 квинтов и 1 терция.

Таким образом, настройка каждой из 12 хроматических нот с наибольшей точностью требует минимум 8 * 12 = 96 операций. (И, поскольку настройка каждой четверти поднимается на четыре октавы, нам потребуется пианино с 12 * 4 = 36 октавами.) Ограничив наше пианино до 7 полных октав и настроив эквивалент одной из них, нам теперь нужны дополнительные 12 * 6 = 72 октавных строя.

Следовательно, всего требуется 168 операций с участием 32 рабочих октав.

Кроме того, поскольку сокращение нашей клавиатуры до фактических 7 рабочих октав требует только изменения порядка операций (выполнение коррекций октав по мере необходимости), нам по-прежнему требуется как минимум 168 полных операций.

Другими словами, на семиоктавной клавиатуре (7 * 12 = 84 клавиши) каждая клавиша должна быть настроена в среднем дважды для достижения идеального результата.

В моем лучшем случае вам нужно всего 2 октавы для работы. Взгляните на дополнительные статьи, например Fast Inverse Stack, рядом сequaltemperament.com/inverse-stack . Эффективно объясняет весь процесс, работая только с двумя октавами, C3-C4, которые мы слышим очень точно.
@Vinkelman Если это вопрос, на который вы хотите получить ответ, задайте его в своем посте.
@Vinkelman Глядя на «быстрый обратный стек», я вижу, что для настройки одной октавы требуется 99 шагов. Остается настроить 6 октав, что требует еще 6*12 = 72 шагов, всего 171 шаг. Менее эффективна, чем описанная выше процедура.
@Vinkelman Я должен повторить, что не вижу проблем с математикой (то есть с точностью настройки), только с эффективностью по сравнению со стандартной практикой.
Равный темперамент как набор правильных интервалов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v