Как строятся лагранжианы в КТП?

Анализ симметрии, устойчивости и размерности. Например, вы можете рассмотреть скалярную теорию поля. Динамическое действие для такой теории должно быть

$S = \int d^4 x \, \, \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$

потому что

я. Симметрия Лоренца указывает на то, что все индексы должны быть правильно сокращены.

II. Уравнения поля не должны превышать второго порядка по производной

III. Вы можете добавить потенциальный термин$V(\phi) = m^{4-n} \phi^n$только по размерному анализу. Заметим, что этот член также удовлетворяет первым двум условиям.

Вы также можете рассмотреть безмассовое векторное поле$A_\mu$. В этом случае вы должны удовлетворить две симметрии

а. Лоренц (означает, что все индексы должны быть сокращены)

б.$U(1)$(Означает, что действие должно быть инвариантным относительно вариации$\delta A_\mu = \partial_\mu \Lambda$. Таким образом, вы должны использовать инвариантный объект, который$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$.

Таким образом, кинетическое действие, удовлетворяющее этому принципу симметрии, а также устойчивости (уравнение поля второго порядка), равно

$S = \int d^4 x \, \, F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$

Вы можете добавить потенциальный член к этому лагранжиану, т.е.$m^{4-n} (A_\mu A^\mu)^n$, как и в скалярном случае. В этом случае вы больше не можете удовлетворить$U(1)$симметрия, так что вам придется отказаться от этого. Обратите внимание, что выбор$n=2$приведет к Проке.