Уравнение Эйлера-Лагранжа в специальной теории относительности

Основной подход

Сначала напомним, что уравнения Эйлера-Лагранжа являются условиями обращения в нуль вариации действия$S$. Для скалярного поля$\Phi$с лагранжевой плотностью$\mathcal L$на некотором открытом подмножестве U имеем

$$S[\Phi] = \int_U {\mathcal L}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) {\rm d}^4 x$$

Рассмотрим изменение поля в направлении$\chi$и вычислить

$$S[\Phi + \varepsilon \chi] = \int_M {\mathcal L}(\Phi(x) + \varepsilon \chi(x), \partial^{\mu}(\Phi(x) + \varepsilon \chi(x))) {\rm d}^4 x$$ Затем, используя разложение Тейлора $$S[\Phi + \varepsilon \chi] - S[\Phi] = \int_U \left[ \varepsilon \chi(x) {\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) + \varepsilon (\partial^{\mu} \chi(x)) {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) + O(\varepsilon^2) \right] {\rm d}^4 x$$

Используя интегрирование по частям на втором слагаемом (при условии$\chi$исчезает на$\partial U$), ныряя мимо$\varepsilon$с обеих сторон и пропуская$\varepsilon \to 0$это становится изменением направления$\chi$

$$\delta S [\Phi][\chi] = \int_U \chi(x) \left[ {\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) - \partial^{\mu}\left( {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x))\right) \right] {\rm d}^4 x$$

Требуя, чтобы вариации во всех направлениях были равны нулю, мы получаем

$${\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi} - \partial^{\mu}\left( {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}\right) = 0$$

(аргументы как всегда, поэтому опущены).

Пример массивного скалярного поля

Рассмотрим плотность Лагранжа

$${\mathcal L} = {1 \over 2}\eta_{\mu \nu} \partial^{\mu} \Phi \partial^{\nu} \Phi - {1 \over 2} m^2 \Phi^2$$ Используя уравнения ЭЛ, которые мы только что вывели, мы получаем уравнение Клейна-Гордона.

$$\eta_{\mu \nu} \partial^{\mu} \partial^{\nu} \Phi + m^2 \Phi = \square \Phi + m^2 \Phi = 0$$