Как тензорные произведения и прямые суммы вписываются в квантовую механику?

Тензорное произведение

Запись гильбертова пространства в виде тензорного произведения

$$\newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \cH=\cH_A\otimes \cH_B$$ может быть полезно, когда мы хотим подумать о$\cH_A$и$\cH_B$как две взаимодополняющие подсистемы полной системы. Наблюдаемые, связанные с подсистемой$A$действовать как тождество на другой фактор$\cH_B$, и наоборот. Например, наблюдаемая, связанная с подсистемой$A$имеет форму$O_A\otimes 1$. Общая наблюдаемая влияет на оба$\cH_A$и$\cH_B$. То есть общая наблюдаемая представляет собой сумму членов вида$O_A\otimes O_B$где операторы$O_{A/B}$действовать только на$A/B$соответственно.

В частности, если$\cH=\cH_A\otimes \cH_B$, гамильтониан в уравнении Шредингера представляет собой сумму членов вида$O_A\otimes O_B$. В частности, термины вида$O_A\otimes 1$и$1\otimes O_B$описать динамику$A$и$B$подсистемы сами по себе, а все остальные термины описывают взаимодействия между этими подсистемами.

Другой пример — нерелятивистская частица со спином: мы можем выразить гильбертово пространство как тензорное произведение$\cH_X\otimes \cH_S$, где наблюдаемые, связанные с местоположением частицы, имеют вид$O_X\otimes 1$и наблюдаемые, связанные с его спином, имеют вид$1\otimes O_S$. В этом случае разные части обычно называют разными «степенями свободы», а не разными «подсистемами». В случае нерелятивистской частицы мы можем дополнительно разложить на множители$\cH_X$на три фактора, связанные с тремя измерениями пространства. Опять же, мы обычно называем эти «степени свободы», а не «подсистемы».

В самом общем виде мы можем определить «подсистему» ​​или «степень свободы» как особый набор наблюдаемых. Построение тензорного произведения для этого не требуется, но часто бывает полезно. Если наблюдаемые, связанные с разными подсистемами (или степенями свободы), коммутируют друг с другом, то тензорное произведение часто полезно как систематический способ математического определения различных наборов наблюдаемых: каждый набор действует нетривиально только на один из тензорных факторов.

Понятия «подсистемы» и «степени свободы» — это всего лишь нечетко очерченные частные случаи гораздо более общей идеи: взаимно коммутирующих подмножеств множества наблюдаемых. Одно и то же гильбертово пространство допускает множество различных факторизаций тензорного произведения. Какой из них наиболее полезен (если есть) зависит от того, какие операторы мы хотим представить, какие физические наблюдаемые объекты — решения, которые мы принимаем при определении модели. Аналогичный комментарий относится к наиболее распространенным определениям/мерам «запутанности», поскольку они относятся к данной факторизации тензорного произведения.

Изучение «свойства расщепления» в квантовой теории поля обнаруживает некоторые ограничения формулировки тензорного произведения. Свойство split упоминается в этом связанном сообщении:

Должно ли быть очевидно, что независимые квантовые состояния составлены из тензорного произведения?

У тензорного произведения есть и другие применения. Например, для одиночной частицы, покоящейся в трехмерном пространстве, мы можем систематически выразить спин-$j$представительство для любого$j$взяв тензорное произведение$2j$копии представления со спином 1/2 и симметрирование. Мы можем думать об этом как о специальном приложении идеи подсистемы, потому что симметризованный набор$2j$частицы со спином 1/2 имеют полный спин$j$.

Аксиомы I-IV, перечисленные в ОП, одинаковы независимо от того,$\cH$записывается как тензорное произведение, потому что эти аксиомы не зависят от того, какое представление мы используем для гильбертова пространства.

Прямая сумма

Запись гильбертова пространства в виде прямой суммы

$$\cH=\cH_1\oplus\cH_2$$ полезен, когда мы хотим сосредоточиться на конкретном подпространстве состояний. Используя в качестве примера нерелятивистскую модель одной частицы,$\cH_1$может состоять из состояний, в которых волновая функция частицы имеет опору только в заданной области$R$, и$\cH_2$может состоять из государств с поддержкой в ​​составе$R$.

В более общем смысле, при любой дискретной наблюдаемой (такой как наблюдаемая, которая задает вопрос: «Находится ли частица в области$R$или нет?"), мы можем написать$\cH$как прямую сумму собственных пространств этой наблюдаемой. Разложение гильбертова пространства в прямую сумму соответствует блочно-матричному представлению операторов в гильбертовом пространстве.

С более эзотерической точки зрения, прямая сумма также полезна для представления смешанных состояний в виде векторных состояний: каждое состояние, чистое или смешанное, может быть выражено как векторное состояние в достаточно большом гильбертовом пространстве с пониманием того, что все наблюдаемые имеют блочно-диагональную форма, которая не смешивает различные прямые слагаемые друг с другом. Этот факт иногда полезен для доказательства теорем, и этот факт, в свою очередь, может быть доказан с помощью конструкции GNS.

Опять же, аксиомы I-IV, перечисленные в ОП, одинаковы независимо от того,$\cH$записывается как прямая сумма, потому что эти аксиомы не зависят от того, какое представление мы используем для гильбертова пространства.

Очень короткий и очень полезный ответ, касающийся только физических аспектов тензорного произведения и прямой суммы:

Прямая сумма добавляет гильбертовы пространства таким образом, что они отделимы друг от друга. В вашем гамильтониане вы заметите это как блочные матрицы, добавленные по диагоналям, которые действуют на отдельные части вектора волновых функций, описывающего вашу систему.

Тензорное произведение все смешивает. Если вы производите тензорное произведение двух матриц, вы полностью записываете вторую матрицу в каждую запись матрицы первой, умноженную на число, которое было ранее в этой записи. Каждая матрица имеет набор собственных состояний. Теперь вы можете построить основу для этой новой матрицы путем «комбинации» двух предыдущих основ собственных состояний в новую. Под совмещением я подразумеваю, что векторы строятся аналогично матрице, в каждой записи собственный вектор первой матрицы, собственные векторы второй матрицы, умноженные на число, которое было ранее в этой записи. Этот новый базис больше не является базисом собственных векторов.

Последнее теперь сводится к первому, то есть вы можете привести последнее к блочно-диагональной форме, чтобы разделить вашу систему на несколько подсистем.

Применение: Вы хотите описать две частицы со спином 1/2 в одной системе. Каждая частица имеет состояния |up>, |down>.

Гильбертово пространство, которое вы извлекаете из TENSOR PRODUCT, имеет состояния, которые обычно обозначаются как |вверх>|вверх>,|вверх>|вниз>, |вниз>|вверх>,|вниз>|вниз>. Это действительно тензорные произведения исходных состояний. Скажем, я выбираю базис |up>=(1,0), |down>=(0,1), тогда |up>|down> равно |up> x |down> = (1*(0,1), 0*(0,1)) = (0,1,0,0). Я обозначил тензорное произведение как «x», потому что не знаю, как здесь писать текст.

Но, как мы знаем, мы можем разделить задачу на систему со спином 1 и спином 0, где система со спином 1 является трехмерной (собственные значения Sz: 1,0,-1), а система со спином 0 является одномерной (Sz -собственные значения: 0). Почему мы различаем системы «Spin 1» и «Spin 0»? Потому что это системы (или набор векторов), которые дадут либо собственное значение S = 1 (поскольку S ^ 2 * спин-1-собственный вектор = 2 = S * (S + 1) -> S = 1), и S =0 (потому что S^2 * спин-0-собственный вектор = 1 = S*(S+1) -> S=0).

Если кто-то хочет лучше отформатировать этот ответ, вперед.

Вы не можете действительно вывести, когда использовать прямую сумму и когда использовать тензорное произведение из четырех перечисленных вами постулатов, потому что эти постулаты описывают единую систему и предполагают существование гильбертова пространства.$\mathcal{H}$который описывает эту систему. Природа гильбертова пространства обычно просто постулируется и редко может быть выведена без дополнительных предположений. Например, невозможно вывести, что данная система многих частиц является бозонной или фермионной (или ни тем, ни другим), что является фундаментальным свойством гильбертова пространства, без дополнительных предположений, таких как лоренц-инвариантность.

Однако, как обсуждалось в ответах на этот повторяющийся вопрос , правило Борна лучше работает с тензорными произведениями, чем с прямыми суммами. Если вы можете выразить состояние системы как тензорное произведение двух других состояний, то каждое из этих состояний фактора также считается «системой» в соответствии с постулатами, что соответствует нашему интуитивному представлению о том, как «системы» должны работать. Я предполагаю, что в зависимости от вашей философской точки зрения на то, что считается «системой», это либо доказательство, либо сильная мотивация для тензорного произведения как правильного средства объединения «подсистем».

Но, отмахиваясь от комментариев Кнчжоу, стоит отметить, что на эти вопросы «почему» всегда очень трудно ответить в квантовой механике. Это потому, что многие результаты в квантовой механике хорошо сочетаются друг с другом, но не обязательно очевидно, какие из них являются наиболее фундаментальными:

• Правило Борна
• Сами подсистемы систем подчиняются тем же правилам
• Тот факт, что тензорное произведение является подходящим способом объединения подсистем
• Тот факт, что физические состояния естественным образом соответствуют лучам, а не векторам в гильбертовом пространстве
• [Значительно глубже в сорняки,] тот факт, что поле скаляров представляет собой комплексные, а не действительные числа

Изменение любого из этих фактов имеет тенденцию немедленно разрушать все остальные, но все же приводит к логически непротиворечивой теории. (Последний — особый случай; его можно изменить, оставив другие нетронутыми, хотя полученная теория, возможно, будет менее естественной.) Поэтому очень сложно ответить на вопросы «почему» в целом.

Потребовалось немало усилий, чтобы понять, что на самом деле означают «гильбертово пространство» и тензорные произведения в квантовой механике.

Лично я считаю, что объяснения, основанные на «формализме тензорных произведений», абсолютно не подходят для понимания. Он лишает интуиции и превращает ученика в обезьяну, которая работает по принципу «подключи и пыхти».

Концепция, которая заставила меня задуматься, — это тщательное описание того, что представляет собой волновая функция:

Волновая функция представляет собой (комплексное) значение, которое (в квадрате) описывает вероятность ВОЗМОЖНОГО ВЫХОДНОГО СОСТОЯНИЯ .

Звучит очевидно, но это ключевая идея: потенциальным выходным состояниям присваиваются вероятности.

Теперь очень естественно увидеть, что происходит во многих состояниях частиц:

Если у меня есть «квантовая монета», описанная состоянием$\Psi = (\sqrt{P_H}|H\rangle+\sqrt{P_T}|T\rangle)$.

И я подбрасываю две эти монеты, каково состояние вывода?

Теперь в нормальной вероятности ясно, что выходные возможности для подбрасывания двух монет таковы:

HH, HT, TH и TT (4 состояния выхода)

И это удваивается за каждую добавленную монету! Добавление еще одного:

HHH, HHT, HTH, HTT, TTT, THT, THH, TTH (8 выходных состояний)

Теперь в квантовом случае каждой из этих возможностей должна быть присвоена собственная амплитуда вероятности (и она потенциально может вызвать помехи!)

Теперь, если мы подбрасываем две квантовые монеты совершенно независимо, мы определяем, что между монетами не должно быть никакой корреляции, и все должно выглядеть точно так же, как в классическом случае.

$$P(HH) = P_H P_H\\ P(HT) = P_H P_T\\ P(TH) = P_T P_H\\ P(TT) = P_T P_T$$

Существует ли линейный оператор, который будет принимать два состояния$\Psi_1 = (\sqrt{P_H}|H\rangle_1+\sqrt{P_T}|T\rangle_1)$и$\Psi_2 = (\sqrt{P_H}|H\rangle_2+\sqrt{P_T}|T\rangle_2)$и превратить их в правильное комбинированное пространство возможностей, дающее независимые вероятности? Это тензорное произведение!!

Тензорное произведение используется для описания независимых состояний. И именно поэтому запутанность существует тогда и только тогда, когда данное состояние НЕ МОЖЕТ быть описано таким тензорным произведением.

Итак, приведем пример, если у вас есть некоторый набор возможностей вывода, например:$c_1|H\rangle_1|H\rangle_2 + c_2|H\rangle_1|T\rangle_2 + c_3|T\rangle_1|H\rangle_2+ c_4|T\rangle_1|T\rangle_2$

Если вы не можете упростить его, чтобы он мог иметь форму$(a|H\rangle_1 + b|T\rangle_2) \otimes (c|H\rangle_3 + d|T\rangle_4)$

Тогда вы знаете, что ваше состояние не является «независимым» (и по определению запутанным).

Я думаю, что много раз этот пример с запутанностью рассматривается как отдельный от того, что представляют эти тензорные произведения, и я думаю, что это ошибка - я не мог понять этот материал, пока в конце концов не нашел эту линию мышления.

И последнее замечание: часто люди говорят что-то вроде:

Для состояния 1 (существующего в$\mathcal{H}_1$) и состояние 2 (существующее в$\mathcal{H}_2$) запутанность существует в пространстве$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$. Этот язык очень сбивает с толку, но, к сожалению, широко распространен и редко объясняется. «Гильбертово пространство»$\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$просто представляет набор вероятностных амплитуд, которые могут быть назначены выходному состоянию комбинации. В нашем примере с 2 квантовыми монетами у нас будет пространство$\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2 \rightarrow (|H\rangle_1 + |T\rangle_1) \otimes (|H\rangle_2+ |T\rangle_2)\rightarrow (|H\rangle_1|H\rangle_2 +|H\rangle_1|T\rangle_2+|T\rangle_1|H\rangle_2+|T\rangle_1|T\rangle_2 )$В данном случае мы используем это обозначение в качестве «трюка», чтобы смешать наши кеты вместе, чтобы получить пространство, описывающее большее пространство возможностей!